1、27.4正多边形和圆一选择题（共8小题）1正多边形的中心角是36，那么这个正多边形的边数是（）A10B8C6D52圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A12B6C12D63如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，ABC的顶点都在格点上，则ABC的面积是（）AB2CD34半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A8cmB4cmC8cmD4cm5正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）ABCD6正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A4B6C7D87O的半径等于3，则O的内接正方形的边长等于（）A
2、3B2C3D68同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）ABCD二填空题（共6小题）9正六边形的中心角等于_度10正n边形的边长与半径的夹角为75，那么n=_11已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为_cm12如图，O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于O，则图中阴影部分面积为_cm2（结果保留）13半径为1的圆内接正三角形的边心距为_14如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的半径为4，则阴影部分的面积等于_三解答题（共6小题）15如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H（1）求证：ABFBCG；（2）求AHG的度数16如图，
3、正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，FMH=120，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H（1）当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明17如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积18正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？19如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和20如图，某圆形场地内有一个内接于O的正方形中心场地，
4、若O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积（计算结果保留）27.4正多边形和圆参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1正多边形的中心角是36，那么这个正多边形的边数是（）A10B8C6D5考点：正多边形和圆分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36求出n的值即可解答：解：设这个正多边形的边数是n，正多边形的中心角是36，=36，解得n=10故选A点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键2圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A12B6C12D6考点：正多边形和圆分析：根据题意画出图形，求出正六
5、边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可解答：解：圆内接正六边形的周长为24，圆内接正六边形的边长为4，圆的半径为4，如图，连接OB，过O作ODBC于D，则OBC=30，BD=OBcos30=4=2，BC=2BD=4；该圆的内接正三角形的周长为12，故选A点评：本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键3如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，ABC的顶点都在格点上，则ABC的面积是（）AB2CD3考点：正多边形和圆分析：延长AB，然后作出过点
6、C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据SABC=SAECSBEC即可求解解答：解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则BCE的边EC上的高是：，ACE边EC上的高是：，则SABC=SAECSBEC=4（）=2故选：B点评：本题考查了正多边形的计算，正确理解SABC=SAECSBEC是关键4半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A8cmB4cmC8cmD4cm考点：正多边形和圆分析：欲求ABC的边长，把ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在RtBOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC
7、=2BD，从而求正三角形的边长解答：解：如图所示：半径为8cm的圆的内接正三角形，在RtBOD中，OB=8cm，OBD=30，BD=cos30OB=8=4（cm），BD=CD，BC=2BD=8cm故它的内接正三角形的边长为8cm故选：A点评：本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出，OBD=30是解题关键5正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）ABCD考点：正多边形和圆分析：作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形解直角三角形即可解答：解：正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径；因为等边三角形的边长为正
8、六边形的外接圆的半径，所以内切圆面积与外接圆面积之比=（sin60）2=故选：D点评：本题考查了正多边形和圆，利用正六边形可以分六个全等等边三角形进而得出是解题关键6正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A4B6C7D8考点：正多边形和圆分析：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，计算出正六边形的面积即可解答：解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到ODE，DOE=360=60，又OD=OE，ODE=OED=（18060）2=60，则ODE为正三角形，OD=OE=DE=2，SODE=ODOM=ODOEsin60=22=正六边形的面积为6=6，故选B点评：本题考查了
9、正多边形的计算，理解正六边形倍半径分成六个全等的等边三角形是关键，此题难度不大7O的半径等于3，则O的内接正方形的边长等于（）A3B2C3D6考点：正多边形和圆分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可解答：解：如图所示：O的半径为3，四边形ABCD是正方形，B=90，AC是O的直径，AC=23=6，AB2+BC2=AC2，AB=BC，AB2+BC2=36，解得：AB=3，即O的内接正方形的边长等于3，故选C点评：此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出AB2+BC2=AC2是解题关键，此题难度一般8同圆的内接正三角形与内接正方形
10、的边长的比是（）ABCD考点：正多边形和圆分析：根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可解答：解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作ODBC于D，则OBC=30，BD=OBcos30=R，故BC=2BD=R；如图（二），连接OB、OC，过O作OEBC于E，则OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=R，故BC=R；故圆内接正三角形、正方形的边长之比为R：R=：=：2故选：A点评：本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键二填空题（共6小题）9正六边形的中心角等于60度考点：正多边形和圆分
11、析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论解答：解：正六边形的六条边都相等，正六边形的中心角=60故答案为：60点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键10正n边形的边长与半径的夹角为75，那么n=12考点：正多边形和圆分析：先根据正n边形的边长与半径的夹角为75求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于n的方程，求出n的值即可解答：解：正n边形的边长与半径的夹角为75，一个内角的度数=150，即=150解得n=12故答案为：12点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键11已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为c
12、m考点：正多边形和圆分析：根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决解答：解：如图，连接OA、OB；过点O作OGAB于点G在RtAOG中，OA=2cm，AOG=30，OG=OAcos 30=2=（cm）故答案为：点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键12如图，O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于O，则图中阴影部分面积为cm2（结果保留）考点：正多边形和圆专题：计算题分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可解答：解：如图所示：连接BO，CO，正六边
13、形ABCDEF内接于O，AB=BC=CO=1，ABC=120，OBC是等边三角形，COAB，在COW和ABW中，COWABW（AAS），图中阴影部分面积为：S扇形OBC=故答案为：点评：此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键13半径为1的圆内接正三角形的边心距为考点：正多边形和圆专题：几何图形问题分析：作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距解答：解：如图，ABC是O的内接等边三角形，OB=1，ODBC等边三角形的内心和外心重合，OB平分ABC，则OBD=30；ODBC，OB=1，OD=故
14、答案为：点评：考查了等边三角形的性质注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径14如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的半径为4，则阴影部分的面积等于考点：正多边形和圆；扇形面积的计算专题：压轴题分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积解答：解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZCD于Z，六边形ABCDEF是正六边形，BC=CD=DE=EF，BOC=COD=DOE=EOF=60，由垂径定理得：OCBD，OEDF，BM=DM，FN=D
15、N，在RtBMO中，OB=4，BOM=60，BM=OBsin60=2，OM=OBcos60=2，BD=2BM=4，BDO的面积是BDOM=42=4，同理FDO的面积是4；COD=60，OC=OD=4，COD是等边三角形，OCD=ODC=60，在RtCZO中，OC=4，OZ=OCsin60=2，S扇形OCDSCOD=42=4，阴影部分的面积是：4+4+4+4=，故答案为：点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中三解答题（共6小题）15如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H（1）求证：
16、ABFBCG；（2）求AHG的度数考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质专题：综合题分析：（1）利用正五边形的相等的角和相等的边得到证明全等三角形的条件后证明全等即可；（2）将AHG的度数转化为正五边形的内角的度数求解解答：（1）证明：五边形ABCDE是正五边形，AB=BC=CD，ABC=BCD，（2分）F、G分别是BC、CD的中点，BF=CG，（4分）在ABF和BCG中，AB=BC，ABC=BCD，BF=CG，（5分）ABFBCG；（6分）（2）解：由（1）知GBC=FAB，AHG=FAB+ABH=GBC+ABH=ABC（，7分）正五边形的内角为108，AHG=108（9分）（注：本小题
17、直接正确写出AHG=108不扣分）点评：本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正五边形中相等的元素16如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，FMH=120，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H（1）当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据FMH=120，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即
18、可得出结论；（2）当点M与点A重合时，FMB=120，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出MBHMBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论解答：（1）证明：六边形ABCDEF为正六边形，每个内角均为120FMH=120，A、M、B在一条直线上，AFM+FMA=FMA+BMH=60，AFM=BMH（2）解：猜想：FM=MH证明：当点M与点A重合时，FMB=120，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH当点M与点A不重合时，证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MGBAF=
19、120，AF=AB，ABF=30，ABG=18030=150MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，CBQ=60=30，MBH=ABC+CBQ=120+30=150，MBH=MBG=150，MBHMBG，MHB=MGB，MH=MG，AFM=BMH，HMB+MHB=30，AFM+MGB=30，AFM+MFB=30，MFB=MGBFM=MG=MH证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PMAF=AB，FP=MB，PA=AMA=120，APM=（180120）=30，有FPM=150，BQ平分CBN，MBQ=120+30=150，FPM=MBH，由（1）知PFM=HMB，FPMMBHFM=MH点评
20、：本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大17如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积考点：正多边形和圆分析：如图1，连接OB、OC，过O作ODAB于D，求出中心角AOB，解直角三角形求出AD和OD，根据垂径定理求出AB，即可得出答案；连接OA、OB、OC，求出中心角COD，根据勾股定理求出CD，即可得出答案解答：解：如图1，连接OB、OC，过O作ODAB于D，O是正三角形ABC的外接圆，AOB=120，OA=OB，AOD=BOD=60，在RtADO中，AO=R，AD=Rsin60=R，OD=Rc
21、os60=R，ODAB，AB=2AD=R，正ABC的周长是3AB=3R；面积是3ABOD=3RR=R2；如图2，连接OA、OB、OD，O是正方形ABCD的外接圆，COD=90，OD=OC=R，由勾股定理得；CD=R，正方形ABCD的周长为4R=4R，面积为RR=2R2点评：本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正多边形的性质的应用，解此题的关键是求出正多边形的边长，主要考查学生的计算能力，难度适中18正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？考点：正多边形和圆分析：如图，作辅助线；首先证明OAB、OAC均为等边三角形，得到BAO=CAO=60，借助扇形的面积公式和三角形的面积公式即可解决问题
22、解答：解：如图，连接OA、OB、OC；由题意知：BOA=COA=60，OA=OB=OC，OAB、OAC均为等边三角形，BAO=CAO=60，=；=32，阴影部分的面积=3=6496点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求19如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和考点：正多边形和圆分析：（1）直接根据圆周角定理即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AD
23、的长，再根据S阴影=SOS正方形ABCD即可得出结论解答：解：（1）连接AC，D=90，点D在O上，正方形的对角线是圆的直径；（2）四边形ABCD是正方形，AD=CD圆O的半径为2，2AD2=AC2，即2AD2=42，解得AD=2，S阴影=SOS正方形ABCD=22（2）2=48点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键20如图，某圆形场地内有一个内接于O的正方形中心场地，若O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积（计算结果保留）考点：正多边形和圆专题：计算题分析：连接AC，可得AC为直径，根据勾股定理可求出AB的长，而阴影部分的面积为圆面积减去正方形面积的四分之一解答：解：连AC，则AC为直径，即AC=20，正方形ABCD中，AB=BC，B=90，在RtABC中，AB2+BC2=AC2，2AB2=202，AB2=200，=（2550）米2点评：本题考查了正多边形和圆，注：90的圆周角所对的弦是直径
