1、第22练空间几何体的三视图及表面积与体积题型一三视图识图例1将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为()破题切入点根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题答案B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线题型二空间几何体的表面积和体积例2如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A36() B36(2)C108 D108(2)破题切入点先根据三视图的结构特征确定几何体的构成半圆锥与棱锥的组合体，然后把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征，分别求出对应几
2、何体的体积，则两者体积之和即该组合体的体积答案B解析由俯视图，可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h6，故半圆锥的体积V162636.三棱锥的底面积S12636，三棱锥的体积V2Sh36672.故该几何体的体积VV1V2367236(2)故选B.题型三立体几何中的计算综合问题例3(2014陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四
3、面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四面体EFGH是矩形破题切入点由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解(1)解由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD体积V221.(2)证明BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，又AD平面BDC，ADBC，EFFG.四边形EFGH是矩形总结提高(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方
4、、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等1(2013四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.2如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部
5、分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.答案C解析由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1224322161834(cm3)，原毛坯体积V232654(cm3)，则所求比值为.3(2014浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2答案D解析该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5
6、cm，所以表面积S2(4643)36339939138(cm2)4(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60C66 D72答案B解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为(25)414，计算可得A1P5.直角梯形BCC1P的面积为(25)5.因为A1C1平面A1ABP，A1P平面A1ABP，所以A1C1A1P，故RtA1PC1的面积为53.又RtABC的面积为436，
7、矩形ACC1A1的面积为5315，故几何体ABCA1PC1的表面积为1461560.5两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为()A(63) B(84)C(63) D(84)答案A解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1AO1O2O2C1，而O1Ar1，O1O2r1r2，O2C1r2，r1r1r2r2.r1r2，从而S1S24r4r4(rr)4(63).6已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥S
8、ABC的体积为()A3 B2 C. D1答案C解析如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于ADSC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在RtSAC中，ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin 604，所以选C.7(2014辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A82 B8C8 D8答案B解析这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的
9、几何体，如图，几何体的高为2，V2312228.8已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为()A. B.C. D.答案C解析由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP，AB，AC两两垂直，且APABAC1，故AP平面ABC，SABCABAC，所以三棱锥PABC的体积V1SABCAP1，又RtABC是半球底面的内接三角形，所以球的直径2RBC，解得R，所以半球的体积V2()3，故所求几何体的体积VV1V2.9(2014北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_答
10、案2解析根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA平面ABC，且PA2.底面为等腰三角形，ABBC，设D为AC的中点，AC2，则ADDC1，且BD1，易得ABBC，所以最长的棱为PC，PC2.10已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_答案解析如图，作PM平面ABC，设PAa，则ABa，CMa，PMa.设球的半径为R，所以22R2，将R代入上式，解得a2，所以d.11已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆
11、柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示因为，所以rRx，所以S圆柱侧2rx2Rxx2(0xH)(2)因为0，所以当x时，S圆柱侧最大故当x，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大12(2014北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1，又因为AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.
