1、2015-2016学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知A（1，3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A2B1CD不存在2圆心为（3，2）且过点A（1，1）的圆的方程是（）A（x3）2+（y2）2=5B（x+3）2+（y2）2=5C（x3）2+（y2）2=25D（x+3）2+（y2）2=253已知直线x2y+5=0与直线2x+my6=0互相垂直，则m=（）A1BC1D44已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn
2、，则nD若m，mn，则n5双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A4B4C2D26一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D47在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）ABC1D28已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A1B2C4D89过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A（0，B（0，C0，D0，10点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的
3、轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11双曲线的两条渐近线方程为12以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于13已知=（1，1，0），=（1，0，2），则|2|=14如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为米15设F1、F2是椭圆E： =1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为16如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，
4、CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB平面ABCD，点E是AB的中点（）求证：CD平面PAB；（）求证：PEAD18已知圆C经过A（1，3），B（1，1）两点，且圆心在直线y=x上（）求圆C的方程；（）设直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程19已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y1=0，3xy+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其
5、他两边所在直线的方程20如图，PA平面ABC，ABBC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点（）求证：AM平面PBC；（）求二面角APCB的余弦值；（）证明：在线段PC上存在点D，使得BDAC，并求的值21已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由2015-2016学年北京市东城区高二（上）期末数
6、学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知A（1，3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A2B1CD不存在【考点】直线的斜率【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】根据两点坐标求出直线AB的斜率即可【解答】解：直线AB的斜率k=2，故选：A【点评】此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题2圆心为（3，2）且过点A（1，1）的圆的方程是（）A（x3）2+（y2）2=5B（x+3）2+（y2）2=5C（x3）2+（y2）2=25D（x+3）2+（y2）2=25【考点】圆的标准方
7、程【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案【解答】解：圆心为（3，2）且过点A（1，1），圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y2）2=25故选：D【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础的会考题型3已知直线x2y+5=0与直线2x+my6=0互相垂直，则m=（）A1BC1D4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由直线的垂直关系可得12+（2）m=0，解方程可得【解答】解：直线x2y+5=0与直线2x+my6=0互相垂直，12+（2）m=0，解得m=1故选：C【点评】本题考
8、查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题4已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B运用线面垂直的性质，即可判断；C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选B【点评】
9、本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型5双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A4B4C2D2【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长【解答】解：双曲线2x2y2=8，可化为a=2，双曲线2x2y2=8的实轴长是4故选B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；图表型【分析】由三视图及题设条
10、件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其
11、公式为底面积高三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能7在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）ABC1D2【考点】简单线性规划【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内使直线OM斜率取最小值的点M，由两点求斜率公式得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，1），直线OM斜率的最小值为k=故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8已知抛物线C：y2=x
12、的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A1B2C4D8【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，=x0+，解得x0=1故选：A【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题9过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A（0，B（0，C0，D0，【考点】直线与圆的位置关系【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，由此求得斜率k
13、的范围，可得倾斜角的范围【解答】解：由题意可得点P（，1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），即 kxy+k1=0根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，即 3k22k+1k2+1，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是0，故选：D【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题10点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线的一支D直线【考点】轨迹方程【专题】压轴题；
14、运动思想【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决【解答】解：排除法：设动点为Q，1当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图2如果是点A在圆C外，由QCR=QA，得QCQA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D故选D【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学
15、思想，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11双曲线的两条渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于【考点
16、】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】圆锥的底面半径为1，高为1，母线为【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为，圆锥的母线l=圆锥的底面半径r=1，圆锥的侧面积S=rl=故答案为【点评】本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题13已知=（1，1，0），=（1，0，2），则|2|=【考点】空间向量的加减法【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用【分析】利用平面向量坐标运算公式求出，由此能求出|2|【解答】解： =（1，1，0），=（1，0，2），=（2，2，0）（1，0，2）=（3，2，2），|2|=故答案为：【点评】本题考查向量的模的求法，是基
17、础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用14如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为2米【考点】抛物线的应用【专题】计算题；压轴题【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=3代入抛物线方程求得x0进而得到答案【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，2）代入x2=my，得m=2x2=2y，代入B（x0，3）得x0=，故水面宽为2m故答案为：2【点评】本题主要考查抛物线的应用考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力15设F1、F2是椭圆E： =1（ab0）的左、右焦点，P为
18、直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：设x=交x轴于点M，F2PF1是底角为30的等腰三角形PF2F1=120，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|P为直线x=上一点，2（c）=2c，解之得3a=4c椭圆E的离心率为e=故答案为：【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确
19、定几何量之间的关系，属于基础题16如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是【考点】直线与平面平行的性质【专题】空间位置关系与距离【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，M、N、E、F为所在棱的中点，MNBC1，EFBC1，MNEF，又
20、MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF；AA1NE，AA1=NE，四边形AENA1为平行四边形，A1NAE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，A1N平面AEF，又A1NMN=N，平面A1MN平面AEF，P是侧面BCC1B1内一点，且A1P平面AEF，则P必在线段MN上，在RtA1B1M中，A1M=，同理，在RtA1B1N中，求得A1N=，A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1PMN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是故答案为：【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解
21、决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置三、解答题（本大题共5小题，共52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB平面ABCD，点E是AB的中点（）求证：CD平面PAB；（）求证：PEAD【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）由已知CDAB，由此能证明CD平面PAB（）推导出PEAB，从而PE平面ABCD，由此能证明PEAD【解答】证明：（）底面ABCD是菱形，CDAB又CD平面PAB，且AB平面PAB，CD平面PAB（）PA=P
22、B，点E是AB的中点，PEAB平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PE平面PAB，PE平面ABCDAD平面ABCD，PEAD【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18已知圆C经过A（1，3），B（1，1）两点，且圆心在直线y=x上（）求圆C的方程；（）设直线l经过点（2，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆【分析】（）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式
23、，求出斜率，即可得出直线方程【解答】解：（）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a26a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（11）2+（31）2=4，所以圆C的方程为（x1）2+（y1）2=4（）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意设直线l方程为y+2=k（x2），即kxy2k2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y2=0综上，直线l的方程为x2=0或4x+3y2=0【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键19已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y1=0，3xy+4=
24、0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程【专题】计算题【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是M（3，3），可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程【解答】解：联立方程组解得，所以平行四边形ABCD的顶点A（，）设C（x0，y0），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，所以，解得所以C（，）由已知，直线AD的斜率kAD=3因为直线BCAD，所以，直线BC的方程为3xy16=0由已知，直线AB的斜率kAB=1因为直线CDAB，所以，直线CD的
25、方程为x+y11=0因此，其他两边所在直线的方程是3xy16=0，x+y11=0【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算能力，属于中档题20如图，PA平面ABC，ABBC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点（）求证：AM平面PBC；（）求二面角APCB的余弦值；（）证明：在线段PC上存在点D，使得BDAC，并求的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据线面垂直的判定定理即可证明AM平面PBC；（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角APCB的余弦值；（）根据向量关系，以及直线垂直，
26、利向量法进行求解即可【解答】证明：（）因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC因为BCAB，PAAB=A，所以BC平面PAB又AM平面PAB，所以AMBC因为PA=AB，M为PB的中点，所以AMPB又PBBC=B，所以AM平面PBC（）如图，在平面ABC内，作AZBC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0），设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=2所以=（0，1，2）由（）可知=（1，1，0）为平面 的法向量，设，的夹角为，则cos=因为二面角APCB为锐角，所以二面角A
27、PCB的余弦值为（）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（01）即（u2，v，w）=（2，2，1）所以u=22，v=2，w=所以由，得因为，所以在线段PC存在点D，使得BDAC此时=【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力21已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存
28、在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】压轴题【分析】（1）设椭圆方程为由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题设条件得由此入手可求出（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x1）（k0）由题意知（1+2k2）x24k2x+2k22=0由此可知【解答】解：（1）由已知，椭圆方
29、程可设为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所求椭圆方程为（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y1=0，解得（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0m1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x1）（k0）由可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0其中x2x10以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形（x1+x22m，y1+y2）（x2x1，y2y1）=0（x1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0（x1+x22m）+k（y1+y2）=02k2（2+4k2）m=0【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答2016年3月13日
