1、2012-2013学年广东省深圳市宝安区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）不等式xx2的解集是（）A（0，1）B（，0）（1，+）C1，+）D0，1考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：化简表达式可得x（x1）0，由二次方程和二次表达式的关系可得答案解答：解：原不等式xx2可化为：x2x0，分解因式可得x（x1）0，解得x0或x1，故选B点评：本题考查一元二次表达式的解法，求得对应一元二次方程的根是解决问题的关键，属基础题2（5分）sin15cos15=（）A1B1CD
2、2考点：二倍角的正弦专题：计算题分析：直接利用二倍角公式化简表达式，求出值即可解答：解：因为sin15cos15=sin30=故选C点评：本题是基础题，考查二倍角公式的应用，考查计算能力3（5分）函数f（x）=ln（x21）的单调增区间是（）A（1，1）B（1，+）C（1，+）D（，1）考点：复合函数的单调性专题：函数的性质及应用分析：设t=x21，则y=lnt，求出函数f（x）的定义域，然后研究函数t=x21，y=lnt的单调性，根据复合函数单调性的判断方法即可求得增区间解答：解：设t=x21，则y=lnt，由x210，得x1或x1，所以函数f（x）的定义域为（，1）（1，+），当x（，1）
3、时，t是x的减函数，y是t的增函数，当x（1，+）时，t是x的增函数，y是t的增函数，故f（x）的增区间为（1，+），故选C点评：本题考查复合函数单调性的判断，属中档题，先把原函数分解为基本初等函数，然后根据复合函数的判定方法：“同增异减”即可判断，注意在函数定义域内求解4（5分）已知函数，则使得f（x）=1成立的所有x的值为 （）A2B0，2C0，2D0，2考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可求出x的所有值解答：解：当x0时，由ex2=1，得x2=0，解得x=2；当x0时，由|x+1|=1，得x+1=1，解得x=0或2综上可知：x=2或0或2故
4、选D点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键5（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2ac=b2，则角B的大小为（）ABCD考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数解答：解：由已知可得b2=a2+c2ac，得到a2+c2b2=ac，所以根据余弦定理得：cosB=，B（0，），则B=故选D点评：此题考查了余弦定理及特殊角的三角函数值做题时注意整体代入思想的运用，牢记特殊角的三角函数值6（5分）等差数列an中，记Sn
5、=a1+a2+an，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A14B12C24D16考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由条件可得=9a5，故有 a5=8，故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5，代入可得答案解答：解：等差数列an前n项和为Sn，设公差为d，S9=72=9a5，a5=8故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24，故选C点评：本题考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属基础题7（5分）若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A6B2C3D4考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：根据a+b=2，利用基本
6、不等式求得3a+3b 的最小值解答：解：由于实数a，b满足a+b=2，则3a+3b =2 =2=6，当且仅当a=b=1时，等号成立，故选A点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件和等号成立条件，属于基础题8（5分）设函数y=g（x）为奇函数，f（x）=2+g（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A6B2C3D4考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：由题意可得g（x）的最大最小值分别为M2，m2，由奇函数的性质可得（M2）+（m2）=0，变形可得答案解答：解：函数y=g（x）为奇函数，g（x）=g（x），又f（x）=2+g（x）的最大值为M，最小值为m，所以
7、g（x）的最大最小值分别为M2，m2，由奇数的性质可得（M2）+（m2）=0，解得M+m=4故选D点评：本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题9（5分）圆C与圆（x+2）2+（y1）2=1关于直线y=x+2对称，则圆C的方程是（）A（x+1）2+y2=1B（x1）2+y2=1C（x+1）2+y2=2D（x+3）2+y2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程专题：直线与圆分析：设出对称圆的圆心（a，b），由以及 ，求得a、b的值，即可求得圆C的方程解答：解：设圆（x+2）2+（y1）2=1的圆心C（2，1）关于直线y=x+2对称点为C（a，b），由以及 ，求得 a=1，b=0再由这两个
8、圆的半径相等，得圆C的方程是 （x+1）2+y2=1，故选A点评：本题主要考查求一个圆关于一条直线的对称的圆的方程的方法，关键是求出对称圆的圆心坐标，属于中档题10（5分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的取值范围是 （）ABCD考点：两角和与差的正弦函数；圆的参数方程专题：计算题分析：由x2+y2+xy=1xy=（x+y）21，令x+y=t，利用不等式的性质即可求得t的范围解答：解：x2+y2+xy=1xy=（x+y）21，又xy，（x+y）21，令x+y=t，则4t24t2，t，即x+y，x+y的取值范围是，故选A点评：本题考查不等式，利用xy是转化的关键，属于中档题二、填空
9、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.11（5分）已知一组命题：p：34，q：34，利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题真（填“真”或者“假”）考点：命题的真假判断与应用专题：阅读型分析：利用复合命题的判定规律，P、q至少有一个是真命题，则p或q为真命题，来判定即可解答：解：P假，q真，Pq为真命题故答案是真点评：本题考查复合命题的真假判定规律12（5分）已知数列an中a1=1且（nN），an=考点：数列递推式专题：计算题分析：本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键解答：解：根据题意，an+1an=anan+1，两
10、边同除以anan+1，得，于是有：，上述n1个等式累加，可得，又a1=1，得，所以；故答案为点评：解答本题用到的累加法是求数列通项公式以及数列前n项和的重要方法13（5分）若关于x的不等式mx2mx+m10的解集为，则实数m的取值范围是m0考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：因为二次项系数含有字母m，所以分m=0和m0两种情况讨论，当m=0时明显看出对于任意实数x不等式不成立，当m0时，借助于不等式对应的二次函数的图象的开口方向和与x轴有无交点列式求解解答：解：当m=0时，原不等式的解集显然是空集；当m0时，要使关于x的不等式mx2mx+m10的解集为，则，解得m0所以，使
11、关于x的不等式mx2mx+m10的解集为的实数m的取值范围是m0故答案为m0点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”间的关系，是基础题，也是易错题14（5分）投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m2，可以获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100m2，可以获利润200万元现单位可以使用资金1400万元，场地900m2，请你用你所掌握的数学知识进行投资组合，使得单位获得最大利润，可能获得的最大利润为1475万元考点：函数模型的选择与应用专题：综合题；函数的性质及应用分析：设生产A产品
12、x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解解答：解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为：，目标函数为S=3x+2y，作出可行域，使目标函数为S=3x+2y取最大值的（x，y）是直线2x+3y=14与2x+y=9的交点（3.25，2.5），此时S=33.25+22.5=14.75百万元=1475万元故
13、答案为：1475点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤15（12分）已知椭圆C的方程为（1）求k的取值范围； （2）若椭圆C的离心率，求k的值考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案（2）先根据题意利用k表示出a，b，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得解答：
14、解：（1）方程表示椭圆，则 ，解得 k（1，5）（5，9）（2）当9kk1时，依题意可知a=，b=c=k=2；当9kk1时，依题意可知b=，a=c=k=8；k的值为2或8点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题16（12分）已知函数（1）求使f（x）0的x的集合（2）若mf（x）对x0的所有实数恒成立，求m的取值范围考点：其他不等式的解法；函数恒成立问题专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）由f（x）=0即可求得使f（x）0的x的集合；（2）依题意，当x0时，求得mf（x）min即可解答：解：（1）f（x）=0，
15、x2或1x0，使f（x）0的x的集合为x|x2或1x0；（2）x0，mf（x）恒成立，mf（x）min又当x0时，f（x）=x+32+3（当且仅当x=，即x=时取“=”）当x0时，f（x）min=3+2m3+2点评：本题考查分式不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题17（14分）（2008上海模拟）设F1，F2分别是椭圆C：的左右焦点，（1）设椭圆C上的点到F1，F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN
16、的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPMKPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论考点：椭圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；压轴题分析：（1）根据椭圆C上的点到F1，F2两点距离之和等于4，可知2a=4，求得a把点和a代入椭圆的标准方程，可求得b进而可得椭圆的标准方程和焦点坐标（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆的标准方程，可得到x和y的关系式即点B的轨迹方程（3）设M（x0，y0），N（x0，y0），p（x，y） 把这些点代入椭圆的标准方程，得到后两式相减可得到的值，然后表示出kPM，KPN后相乘并将的值代入可
17、得到结论解答：解：（1）由于点在椭圆上，2a=4，椭圆C的方程为焦点坐标分别为（1，0），（1，0）（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）把K的坐标代入椭圆中得线段KF1的中点B的轨迹方程为（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称设M（x0，y0）N（x0，y0），p（x，y）M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，得kPMKPN=kPMKPN的值与点P及直线L无关点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题椭圆在圆锥曲线中所占比重最大，考查的也最多，要强化复习18（14分）（1）研究函数f（x）=lnxx的单调区间与极值（2）试探究f（x）=lnx
18、ax（aR）单调性考点：分段函数的应用；函数在某点取得极值的条件专题：导数的综合应用分析：（1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间（2）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间解答：解：（1）f（x）=1=，令f（x）0得x1令f（x）0得0x1所以函数f（x）=lnxx的单调减区间是（1，+），单调递增区间是（0，1）f（x）在x=1处取得极大值1，无极大值（2）f（x）=a（2分）（）x0，所以当a0时，f（x）=a0，f（x）在（0，+）是增函数（4分）当a0时，f（x）在（
19、0，）上f（x）=a0，f（x）在（，+）上f（x）=a0，故f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+）上是减函数点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间19（14分）（2013香洲区模拟）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足（）求角B的大小；（）若a+c=5，且ac，b=，求的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理专题：计算题分析：（）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，
20、由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值解答：解：（）a2bsinA=0，sinA2sinBsinA=0，（2分）sinA0，sinB=，（3分）又B为锐角，则B=；（5分）（）由（）可知B=，又b=，根据余弦定理，得b2=7=a2+c22accos，（7分）整理得：（a+
21、c）23ac=7，a+c=5，ac=6，又ac，可得a=3，c=2，（9分）cosA=，（11分）则=|cosA=cbcosA=2=1（13分）点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键20（14分）（2007上海模拟）设数列an是首项为0的递增数列，（nN），xan，an+1满足：对于任意的b0，1），fn（x）=b总有两个不同的根（1）试写出y=f1（x），并求出a2；（2）求an+1an，并求出an的通项公式；（3）设Sn=a1a2+a3a4+（1）n1an，求Sn考点：数列与三角函数的综合专题：
22、计算题；综合题分析：（1）由题意可得当n=1时，f1（x）=|sin（xa1）|=|sinx|，结合对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根可得a2=，代入可求f1（x）a2=（1）类比（1）的方法可分别求f2（x），f3（x），及a2，a3，a4归纳可得an+1an=n，从而利用叠加法可求（3）当n=2k，kZ（4），S2k=a1a2+a3a4+a2k1a2k，n=2k+1，S2k+1=S2k+a2k+1两种情况讨论求解解答：解：（1）a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（xa1）|=|sinx|，x0，a2，（2分）又对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a2=f1（x）=sinx，x0，a2=（4分）（1）由（1），（2）对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a3=3（5分） 对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a4=6（6分）由此可得an+1an=n，（8分） 利用叠加可求得 （10分）（3）当n=2k，kZ（4），S2k=a1a2+a3a4+a2k1a2k（5）=（a2a1）+（a4a3）+（a2ka2k+1）=+3+5+（2k1）=（13分）当n=2k+1，kZ，（16分）点评：本题主要数列与三角函数是综合知识的应用，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，叠加法的应用及数列求和公式的应用
