1、20142015学年度高三5月测试理科数学试题命题人：揭阳一中 黄文凤一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1设集合,或，,则的取值范围为（ ）A B C D图 12. 已知函数，则该函数是（ ）A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减3某空间几何体的三视图如图 1所示，则此几何体的体积为（ ） A. B. C. D.4. 设直线:,双曲线,则“”是“直线与双曲线C恰有一个公共点“的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件图 2i2014C充分条件D既不充分也不必要条件5若变量满足约
2、束条件，且的最大值为（ ）A. B. C. D. 6图 2是一个算法的流程图，则输出的值是( ).A.2012 B.2013 C.2014 D.20157在一次数学测试(满分为150分)中，某校2000名考生的分数X近似服从正态分布N(100,2)据统计，分数在100110分段的考生共440人，估计分数在90分以上的考生大概有( )人A.560 B.880 C.1120 D. 14408设是整数集的非空子集，如果，都有，则称是一个“好集”，已知S是一个“好集”，下面命题为假命题的是：A一切奇数都属于S B偶数都不属于SC若，则 D若，则二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分本大题
3、分为必做题和选做题两部分)（一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.)9不等式的解集是 .10若复数满足，则在复平面内，的共轭复数对应的点坐标是 .11. 已知,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围是 .12. 设为递减的等比数列，其中为公比，前项和，且，则 .13袋中有5个球，其中有彩色球2个甲、乙二人先后依次从袋中取球，每次取后不放回，规定先取出彩色球者获胜则甲获胜的概率为 .（以整数比作答）（二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分)图 314. (坐标系与参数方程选做题) 曲线C的参数方程为，（为参数），
4、则此曲线的极坐标方程为 .15. (几何证明选讲选做题) 如图 3，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于过点作的平行线与圆交于点,与相交于点，则线段的长为 三、解答题：（本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本题满分12分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为已知，（1）求ABC的面积；（2）求表 1图 417（本题满分12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品表 1是甲流水线样本频数分布表，图 4是乙流水线样本的频率
5、分布直方图（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” 附：下面的临界值表供参考：甲流水线乙流水线0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.0240.0100.0050.0016.6357.87910.828合计合格品不合格品合计 (参考公式：，其中)18（本题满分14分）如Error! Reference source not found.所示，在正四棱锥中，、
6、分别为、边的中点，直线与面所成角为.(1)求证：平面.(2)求二面角的大小.19（本题满分14分）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明:对一切正整数,有.20（本题满分14分）设抛物线：的焦点为，动点到点的距离与到直线的距离之比为.(1)求动点的轨迹的方程；(2) 过点作直线与曲线交于、两点， 为与轴的交点，直线相交于点，直线相交于点，求证: .21（本题满分14分）设函数.（1）当时，求函数在上的极值点；（2）当时，设.证明：存在唯一的，使得20142015学年度高三5月测试理科数学参考答案一、选择题：ADBA CBDD二、填空题
7、：9. ; 10. ; 11. 12. ; 13. ; 14. (或)； 15. 三、解答题：16. （1）解法1：由sinA=2sinB，根据正弦定理得，又 ，2分由余弦定理得，4分SABC=6分 解法2：由sinA=2sinB，根据正弦定理得，又 ，2分，ABC为等腰三角形，作底边AC的高BD,D为垂足，则D也是AC的中点，4分SABC=.6分（2）由余弦定理得，8分， ，10分=.12分17. 解：(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下：图 5-4分(2)由图知，乙样本中合格品数为，故合格品的频率为，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率,-6分设为从乙流水线上任取5件产
8、品中的合格品数，则即从乙流水线上任取5件产品，恰有件产品为合格品的概率为-8分甲流水线乙流水线合计合格品303666不合格品10414合计404080（3）列联表如下： -10分有90的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关-12分18.解：(1)如图 6取的中点，连结.图 6因为,分别为的中点，所以，.面，面，面2分同理可得面又因为，所以面面.3分面，面.4分(2)（法一）过点作面于，则由正四棱锥的定义可知为正方形的中心.取的中点，连结,，则设，则，设点到面的距离为.图 7又由得7分直线与面所成角为，设直线与面所成角为，则8分因为，故有，解得.9分过作于，连结交于，连结.面，面
9、，故又，,面10分面，面,故为二面角的平面角.11分由条件可知,故12分在中，故在中，由正弦定理有.所以，在中，13分，故所求的二面角的大小为.14分（法二：向量法）图 8以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则5分设面的一个法向量为，则由得取，则故面的一个法向量为7分因为，设与面所成角为则即，解得9分因为,，故面，故面的一个法向量为11分设面的一个法向量为由得，取，则13分设二面角的大小为，则故.14分19. 解：(1) ,解得，同理可得2分(2) (法一：第一数学归纳法)由（1）猜想3分证明：当时，命题成立.4分假设当时，命题成立，即.5分因为又得，即6分所以7分所以当时，命题也成
10、立.综上所述，当时，.8分（法二：第二数学归纳法）由（1）猜想3分当时，命题成立.4分假设当时，命题成立，即.5分则6分由得7分所以当时，命题也成立.综上所述，当时，.8分（法三:递推法）当时，得，即 4分得化简得故有6分由（1）知7分故数列构成以为首项，为公差的等差数列. 8分（法四：构造新数列）当时，得，即 4分两边同时除以得即，化简得5分又由（1）可知， 6分故数列为等于的常数数列7分所以，化得所以数列的通项公式为8分 (3)证明:由(2)知, 9分当时,原不等式成立. 10分当时, ,原不等式亦成立. 11分当时, 12分 当时,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有. 14分20.
11、解：(1)由得1分设动点的坐标为，则动点到直线的距离为由条件得，即3分化简得动点的轨迹的方程为4分（2）（法一）由条件可知的斜率存在，且不为0.设的方程为设，由得故有6分由条件可知的方程为：的方程为：联立得，即8分因为，故，所以 10分故11分把代入得，故12分同理可得13分故有所以.14分（法二）设直线,的斜率分别为，点坐标为，点的坐标为.由（1）可知为，为.故，同理可得6分设直线方程为直线的方程为由联立可得同理可得 故，8分由可得因为与曲线交于两点，故解得，故，即同理可得 10分故,11分因为三点共线，故有化简得因为，所以.又因为，所以12分故 13分所以.14分21.解：1分记，当时，解方程得，且，2分令由结合函数的图象可知，当时，且当时，当时，所以函数在，单调递增，在单调递减，因此函数的极大值点为极小值点为4分当时，对于恒成立，所以在单调递减，函数不存在极值点。5分综上得知，当时，不存在极值点；当时，的极大值点为极小值点为.6分（2）当时，7分令，.则有，所以在单调递增，而，所以在也单调递增，故只需证明 化简得9分先证令，则只需证，令，则所以在单调递增，于是，即成立，成立11分再证令，则只需证，令，则所以在单调递增，于是，即成立，成立13分综上可知，存在唯一的，使得即14分
