1、广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=0，1，B=1，0，a+2，若AB，则a的值为（）A2B1C0D12（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b03（5分）两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（）A两条相交直线B两条平行直线C两个点D一条直线和直线外一点4（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=18a6，
2、则S8=（）A18B36C54D725（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”C命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题6（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）AB5C6D7（5分）已知两个双曲线=1和=1（a0，b0）的渐近线将第一象限三等分，则双曲线=1的离心率（）A2或B或C2或D或8（5分）已知抛物线y2=2
3、px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则AFK的面积为（）A4B8C16D32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9（5分）函数f（x）=的定义域为10（5分）以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是11（5分）若a0，3，则函数f（x）=x22ax+a有零点的概率为12（5分）若f（x）=x+（x2）在x=n处取得最小值m，则m=，n=13（5分）已知点A（1，2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为14（5分）若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为三、解
4、答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=（）求sinC的值；（）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长16（12分）华罗庚中学2014-2015学年高二排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图，指出哪个队的身高数
5、据方差较小（无需计算）以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2）现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点（1）求证：CDPD；（2）求证：EF平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？18（14分）已知拋物线C：x2=2py（p0）的焦点F在直线xy+1=0上（1）求拋物线C的方程；（2）设直线l经过点A（1，2），且与拋物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程19（14分）已知等差数列a
6、n的前n项和为Sn，且a5=5，S7=28（1）求数列的通项an； （2）求数列的前n项和Tn；（3）若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+qan（q0，nN*），求数列bn的通项公式，并比较bnbn+2与bn+12的大小20（14分）已知椭圆=1（ab0）经过点（，），且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q求证：直线PQ恒过一个定点广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题
7、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=0，1，B=1，0，a+2，若AB，则a的值为（）A2B1C0D1考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：本题的关键是集合A=0，1，B=1，0，a+2，若AB，根据集合元素的互异性与唯一性，求出a的值解答：解：A=0，1，B=1，0，a+2，且ABa+2=1a=1故选：B点评：题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题要正确判断两个集合的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征2（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa
8、0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a0故选：B点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查3（5分）两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（）A两条相交直线B两条平行直线C两个点D一条直线和直线外一点考点：平行投影及平行投影作图法 专题：空间位置关系与距离分析：根据两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，则两条直线是平行直线，可得答案解答：解
9、：当两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，两条直线平行，两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是两个点故选：C点评：本题考查了异面直线的定义及直线在平面内的射影，考查了学生的空间想象能力，图形演示是解答此类的常用方法4（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=18a6，则S8=（）A18B36C54D72考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：利用等差数列的性质可得18=a1+a8，代入等差数列前8项和公式 求出S8的值解答：解：a3=18a6 ，a3+a6=18=a1+a8，S8 =72，故选D点评：本题考查等差数列的性质得应用，以及等差数列前n 项和公式
10、，求出18=a1+a8，是解题的关键5（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”C命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题考点：复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定 专题：简易逻辑分析：通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断解答：解：对于A：否命题为“若x21，则x1”，故A错误；对于B：否定是“x00，x02+x010”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin xsin y，则
11、xy”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D点评：本题考查了复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，是一道基础题6（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）AB5C6D考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：由已知中多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，我们易求出四棱锥EABCD的体积，然后根据整个几何体大于部分几何体的体积，分析已知中的四个答案，利用排除法，得到答案解答：解：法一：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥EABCD
12、的体积VEABCD=332=6，又整个几何体大于四棱锥EABCD的体积，所求几何体的体积V求VEABCD，法二：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积，整个多面体的体积为故选D点评：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据根据整个几何体大于部分几何体的体积，求出四棱锥EABCD的体积，并与已知中的四个答案进行比较，利用排除法是解答此类问题的捷径7（5分）已知两个双曲线=1和=1（a0，b0）的渐近线将第一象限三等分，则双曲线=1的离心率（）A2或B或C2或D或考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆
13、锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意双曲线=1的渐近线的倾斜角为30或60，可得k=或，利用e=，即可得出结论解答：解：由题意双曲线=1的渐近线的倾斜角为30或60，k=或，e=2或，故选：C点评：本题考查双曲线的离心率，确定双曲线=1的渐近线的倾斜角为30或60是关键8（5分）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则AFK的面积为（）A4B8C16D32考点：抛物线的简单性质；抛物线的应用 专题：计算题分析：设点A在抛物线准线上的射影为D，根据抛物线性质可知|AF|=|AD|，根据双曲线方程可得其右焦点坐标，进而求得p根据=|AD
14、|可得DKA=45，设A点坐标为（，y0），根据抛物线性质进而可得+2=y0，求得y0，进而求得|AK|，最后根据三角形的面积公式，求得答案解答：解：点A在抛物线准线上的射影为D，根据抛物线性质可知|AF|=|AD|，双曲线的右焦点为（2，0），即抛物线焦点为（2，0）=2，p=4=|AD|DKA=AKF=45设A点坐标为（，y0），则有+2=y0，解得y0=4，|AK|=4AFK的面积为|AK|KF|sin45=8故选B点评：本题主要考查了抛物线的性质属基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9（5分）函数f（x）=的定义域为（0，log211考点：函数的定义域及其求法 专题
15、：函数的性质及应用分析：由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案解答：解：由1lg（2x1）0，得lg（2x1）1，02x110，即12x11，解得：0xlog211函数f（x）=的定义域为（0，log211故答案为：（0，log211点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题10（5分）以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是x2=1考点：抛物线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的顶点，求得双曲线中的a，根据离心率进而求c，最后根据b2=c2a2求得b，则双曲
16、线的方程可得解答：解：由题可设双曲线的方程为：抛物线y2=4x中2p=4，其焦点F（1，0），又双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，a=1，又e=2，c=2，故b2=41=3，双曲线的方程为x2=1故答案为：x2=1点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用11（5分）若a0，3，则函数f（x）=x22ax+a有零点的概率为考点：几何概型；二次函数的性质 专题：计算题分析：找出函数f（x）有零点时对应的区域长度的大小，再将其与a0，3，表示的长度大小代入几何概型的计算公式进行解答解答：解：函数f（x）=x22ax+a有零点，
17、4a24a0即：a1或a00a3，1a3则函数f（x）有零点的区间是概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了几何概型、二次函数的性质几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解12（5分）若f（x）=x+（x2）在x=n处取得最小值m，则m=4，n=3考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解：x2，f（x）=x+=（x2）+2+2=4，当且仅当x=3时取等号故答案为：4；3点评：本题查克拉基本不等式的性质，属于基础题13（5分）已知点A（1，2），B（5，6）到直
18、线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为2或1考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：由已知条件点到直线的距离公式得=，由此能求出a的值解答：解：A（1，2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，=，解得a=2或a=1故答案为：2或1点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用14（5分）若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为4考点：圆锥曲线的共同特征 专题：计算题分析：先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根据双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上可得到关系式
19、 ，求出p的值解答：解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为 ，所以 ，解得：p=4，故答案为4点评：本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，以及方程的求解，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=（）求sinC的值；（）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理
20、解方程求边长b解答：解：（）解：因为cos2C=12sin2C=，及0C所以 sinC=（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4由cos2C=2cos2C1=，及0C 得cosC=由余弦定理 c2=a2+b22abcosC，得b2b12=0，解得b= 或b=2所以b=或b=2，c=4点评：本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力，属于中档题16（ 12分）华罗庚中学2014-2015学年高二排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、
21、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图，指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2）现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图 专题：概率与统计分析：（）直接由题中给出的数据画出茎叶图，茎叶图数据相对集中的身高数据方差较小，进而可得身高数据的中位数与众数；（）利用枚举法得到从两队所有身高超过178cm的5人中任取三人的所有情况，查出恰好
22、两人来自排球队一人来自篮球队的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求解解答：解：（）茎叶图如图所示，由茎叶图看出，篮球队的数据相对集中，故篮球队的身高数据方差较小排球队的身高数据中位数为169，众数168（） 两队所有身高超过178cm的同学有5人，其中3人来自排球队，记为a，b，c，2人来自篮球队，记为A，B，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc，abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB共10个；其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA，abB，acA，acB，bcA，bcB共6个，恰好两人来自排球队，一人来自篮球队的概率是=（12分）点评
23、：本题考查了茎叶图，考查了古典概型概率计算公式，训练了利用枚举法列举基本事件总数，是基础题17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点（1）求证：CDPD；（2）求证：EF平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定 专题：计算题；证明题分析：（1）根据题意可得：PACD，又由于CDAD，利用线面垂直的判定定理可知CD平面PAD，再利用线面垂直的定义可知CDPD；（2）取PD中点M，连接FM，AM，所以FMCD，并且AECD，可得AEFM是平
24、行四边形，所以EFAM，再利用线面平行的判定定理即可证明（3）取CD中点G，连接FG，EG，可得EGCD，所以FGCD，所以可得FGE为二面角PCDA的平面角，进而利用解三角形的有关知识解决问题即可解答：证明：（1）PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD又CDAD，CD平面PADCDPD（4分）（2）取PD中点M，连接FM，AM，F为PC中点FMCD，E为AB中点，ABCD为矩形，AECD，AEFM，AE=FM，AEFM是平行四边形，EFAM，AM平面PAD，EF平面PAD，（8分）解：（3）取CD中点G，连接FG，EGE，G为矩形ABCD中AB，CD中点，EGCDF，G为PC，CD中点
25、，FGPD，PDCD，FGCDFGE为二面角PCDA的平面角PAD=90，M为PD中点，EF=AM=PD，EF=FG又FGCD，EGCD，FGEG=G，CD平面EFG，EF平面EFG，CDEF，FG面PCD，CD面PCD，FGCD=G，当EFFG即EFG=90时，EF面PCD，此时FGE=45（12分）点评：本题考查证明线面平行以及线线垂直的判定定理，并且也考查求二面角的平面角的有关知识，找出二面角的平面角是解题的难点和关键18（14分）已知拋物线C：x2=2py（p0）的焦点F在直线xy+1=0上（1）求拋物线C的方程；（2）设直线l经过点A（1，2），且与拋物线C有且只有一个公共点，求直线
26、l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）先确定抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线的方程；（2）考虑斜率是否存在，利用判别式为0，即可求得结论解答：解：（1）由拋物线方程x2=2py （p0），知其焦点在y轴正半轴上，在直线xy+1=0中，令x=0，得焦点坐标为F（0，1），所以，即p=2，故拋物线C的方程是x2=4y（2）直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1）2，由方程组 消去y，得x24kx4k+8=0，因为直线l与拋物线C有且只有一个公共点，所以=16k24（84k）=0，解得k=2或k=1此时直线l的方程为2
27、x+y+4=0或xy1=0；当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，直线l与拋物线C有且只有一个公共点综上，可得当直线l的方程为2x+y+4=0，xy1=0或x=1时，直线l与拋物线C有且只有一个公共点点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19（14分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a5=5，S7=28（1）求数列的通项an； （2）求数列的前n项和Tn；（3）若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+qan（q0，nN*），求数列bn的通项公式，并比较bnbn+2与bn+12的大小考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1
28、）利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得出；（2），可得，利用“裂项求和”即可得出（3）由于，当n2时，可得bn=b1+（b2b1）+（bnbn1）=，对q=1或q1时，计算bnbn+2bn+12即可得出解答：解：（1）设等差数列an为d，a5=5，S7=28，解得，an=1+（n1）=n（2），（3），当n2时，bn=b1+（b2b1）+（bnbn1）=1+q+q2+qn1=当n=1时，b1=1满足上式，当q=1时，当q1时，点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）已知椭圆=1（a
29、b0）经过点（，），且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q求证：直线PQ恒过一个定点考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程（2）当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则 BD：y=0直线PQ恒过一个定点；当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x1）（k0），BD：联立方程组，得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线PQ恒过一个定点解答：（1）解：由，得，即a2=4c2=4（
30、a2b2），即3a2=4b2 （1分）由椭圆过点知， （2分）联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3 （3分）故椭圆的方程是（4分）（2）证明：直线PQ恒过一个定点（5分）椭圆的右焦点为F（1，0），分两种情况1当直线AC的斜率不存在时，AC：x=1，则 BD：y=0由椭圆的通径得P（1，0），又Q（0，0），此时直线PQ恒过一个定点（6分）2当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x1）（k0），则 BD：又设点A（x1，y1），C（x2，y2）联立方程组，消去y并化简得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，（8分）所以（10分）由题知，直线BD的斜率为，同理可得点（11分），（12分）即4yk2+（7x4）k4y=0令4y=0，7x4=0，4y=0，解得故直线PQ恒过一个定点；（13分）综上可知，直线PQ恒过一个定点（14分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过一个定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用
