1、核心模块一 三角函数、解三角形、平面向量专题四 平面向量的线性运算和坐标运算在近三年的江苏高考中，平面向量的线性运算和坐标运算作为 B 级考点，基本是以数量积为载体，在填空题中结合其他知识点综合考察，单独考察不多，如 2017年 T12.目标 1 平面向量的线性运算例 1(1)如图，在ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG 2GO，设CD AG，若AD 15ABAC(R)，则 的值为_65 解析：(1)解法一：AG 13AB23AO 13AB13AC，CD AD AC 15AB(1)AC.因为CD AG，所以 115，65.解法二：不妨设CD mAG，则有AD ACCD ACmAG AC
2、m(AO OG)ACm12AC13OBACm12AC13BO ACm12AC1312BABCACm12AC1312BAACAB m33ACm3AB，从而 m35，所以 m3365.点评：平面向量的线性运算主要指的是加法、减法、数乘以及三点共线的转化和平面向量基本定理本题中的点 G 实为三角形的重心，解法一和解法二都是考虑将AG，CD 用基底向量进行表示，然后再利用三点共线的条件求解，只不过三点共线的条件用的先后顺序不同(2)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC 的模分别为 1,1，2，OA 与OC 的夹角为，且 tan7，OB 与OC 的夹角为 45.若OC mOA nOB(m，nR)，
3、则 mn_.3(2)由 tan7 可得 sin7 210，cos 210，根据向量的分解，易得ncos45mcos 2，nsin45msin0，即 22 n 210m 2，22 n7 210 m0，即5nm10，5n7m0，即得 m54，n74，所以 mn3.点评：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法(3)向量的两个作
4、用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题(3)如图，向量OA 与OB 的夹角为 120，|OA|2，|OB|1，P 是以 O 为圆心，|OB|为半径的BC上的动点，若OP OA OB，则 的最大值是_12 (3)建立如图所示的平面直角坐标系，设点 P(cos，sin)，则OP(cos，sin)，OA(2,0)，OB 12，32.因为OP OA OB，所以 cos212，sin 32.所以12cos 12 3sin，23sin，所以 12 3sin216cos21613sin26 1612，当且仅当
5、 262，即 3时，取等号【思维变式题组训练】1.设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD 2e1e2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为_8 解析：BD CD CB(2e1e2)(e13e2)e14e2，因为 A，B，D 三点共线，故存在实数，使得ABBD 即 2e1ke2(e14e2)，解得 2，k8.2.如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若ACAM BN，则 _.85 解析：解法一：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为 1，则AM 1，12，BN12，1，A
6、C(1,1)因为ACAM BN12，2，所以121，21，解得65，25，所以 85.解法二：由AM AB12AD，BN 12ABAD，得AC AM BN 2 AB2 AD.又ACABAD，所以21，21，解得65，25.所以 85.3.在ABC 中，已知 C45，O 是ABC 的外心，若OC mOA nOB(m，nR)，则 mn 的取值范围是_ 2，1)解析：因为 C45，O 是ABC 外心，所以AOB90，OC mOAnOB，所以 C 在优弧AB上建立平面直角坐标系，不妨设半径为 1，则 A(0,1)，B(1,0)设 C(cos，sin)2，2，代入OC mOA nOB，可得 ncos，m
7、sin，即 mncossin 2sin4.又 434，94，所以 mn 2，1)目标 2 平面向量的坐标运算例 2(1)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(a，3b)与 n(cosA，sinB)平行，则 A_.3 解析：因为 mn，所以 asinB 3bcosA0.由正弦定理，得 sinAsinB 3sinBcosA0，又 sinB0，从而 tanA 3，由于 0A，所以 A3.6 解析：解法一：由题意知，AO(2,0)，令 P(cos，sin)，则AP(cos2，sin)，AO AP(2,0)(cos2，sin)2cos46，当且仅当 cos1，即 0，P(
8、1,0)时等号成立，故AO AP的最大值为 6.解法二：由题意知，AO(2,0)，令 P(x，y)，1x1，则AO AP(2,0)(x2，y)2x46，当且仅当 x1，P(1,0)时等号成立，故AO AP的最大值为 6.(2)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO AP的最大值为_(3)已知点 A(1，1)，B(4,0)，C(2,2)平面区域 D 是由所有满足APABAC(1a,11，b1 知，当且仅当 a1 2，即 ab 21 时，ab 取得最小值 2 22.【方法归类】向量的坐标运算其本质是在单位正交基底下的运算，对于动点的刻画，坐标法要优于用其他
9、基底下的运算，比如圆上的动点可以用三角的形式来表示，坐标法还可以与解析几何、三角函数和线性规划相结合对于最值问题建立坐标系后也更容易用函数来解决问题或者利用坐标得出动点轨迹后，用几何意义来解决【思维变式题组训练】1.已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_(3,3)解析：解法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44,4)又ACOC OA(2,6)，由AP与AC共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3)解法二：设点 P(x，y)，则OP(x，y)，
10、因为OB(4,4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2,6)，且AP与AC 共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3,3)2.已知点 A(1，1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域 D 是由所有满足APABAC(12，01)的点 P 组成的区域，则 D 的面积为_3 解析：设 P(x，y)，且AB(2,1)，AC(1,2)所 以 OP OA AP (1，1)(2,1)(1,2)，则x12，y1232xy3，32yx3，又12，010 x2y3，62xy9为点 P 表示的平面区域，故面积为 3.3 解析：如图所示，建立平
11、面直角坐标系设 A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)3.在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若APABAD，则 的最大值为_根据等面积公式可得圆的半径 r 25，即圆 C 的方程是(x2)2y245，AP(x，y1)，AB(0，1)，AD(2,0)，若满足APABAD，即x2，y1，x2，1y，所以 x2y1.设 zx2y1，即x2y1z0，点 P(x，y)在圆(x2)2y245上，所以圆心到直线的距离 dr，即|2z|141 25，解得 1z3，所以 z 的最大值是 3，即 的最大值是 3.解析：(1)因为
12、a(sinx,1)，b12，cosx，ab，所以 sinxcosx112，即 sin2x1.因为 x(0，)，所以 2x2，所以 x4.4.已知向量 a(sinx,1)，b12，cosx，其中 x(0，)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 tanx2，求|ab|的值(2)因为 a(sinx,1)，b12，cosx，tanx2，所以sinxcosx2，则12sinxcosx0，所以 ab12sinxcosx0，所以|ab|2a2b22aba2b2(sin2x1)14cos2x 94，所以|ab|32.一、填空题1.设 a，b 是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的_条件既不充分也不必
13、要 解析：|ab|ab|两边平方得 ab0，此时 ab.2.已知向量 a(3,1)，b1，12，若向量 ab 与向量 a 垂直，则实数 的值为_4 解析：因为 ab3，112，(ab)a，所以 3(3)112 0，解得 4.13a13b 解析：DE AEAD 13AB23CA 13(CBCA)23CA13a13b.3.已知在ABC 中，点 D，E 别为 AC，AB 上的点，且 DA2CD，EB2AE，若BCa，CAb，则以 a，b 为基底表示DE _.4.在ABC 中，A60，A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB4，且AD 14ACAB(R)，则 AD 的长为_3 3 解析：因为 B，D，
14、C 三点共线，所以141，解得 34，如图，过点 D分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 M，N，则AN14AC，AM 34AB.因为在ABC 中，A60，A 的平分线交 BC 于点 D，所以四边形 ANDM 为菱形因为AB4，所以 ANAM3，AD3 3.5.已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足 c(ab)，且 b(ac)，则 c_.79，73 解析：设 c(x，y)，由题可得 ab(3，1)，ac(1x,2y)因为c(ab)，b(ac)，所以3xy0，22y31x0，解得x79，y73，故 c79，73.6.已知向量 a(2,1)，b(1，1)，若 ab 与 m
15、ab 垂直，则 m 的值为_14 解析：因为 a(2,1)，b(1，1)，所以 ab(1,2)，mab(2m1，m1)因为 ab 与 mab 垂直，所以(ab)(mab)0，即 2m12(m1)0，解得 m14.7.如图，在正方形 ABCD 中，P 为边 DC 上的动点，设向量ACDB AP，则 的最大值为_3 解析：以 A 为坐标原点，以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为 2，则 B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x0,2所以AC(2,2)，DB(2，2)，AP(x,2)因为ACDB AP，所以2x2，222，所以2
16、x2x，42x，所以 6x2x.令 f(x)6x2x(0 x2)，因为 f(x)在0,2上单调递减，所以 f(x)maxf(0)3.8.如图，已知ABC 的边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P，交 BC 于点 Q.若|AB|3，|AC|5，则(APAQ)(ABAC)的值为_16 解析：因为APAQ QP，所以APAQ 2AQ QP，而ABACCB，由于QP CB，所以QP CB0，所以(APAQ)(ABAC)(2AQ QP)CB2AQ CB，又因为 Q 是 BC 的中点，所以 2AQ ABAC，故 2AQ CB(ABAC)(ABAC)AB 2AC 292516.9.已知点 P 为平行四边形
17、 ABCD 所在平面上一点，且满足PAPB2PD 0，PAPBPC0，则 _.34 解析：如图，因为PAPB2PD 0，所以PAPB2(PCCD)0，即PAPB2(PCBA)0，即PAPB2(PCPAPB)0，所以 3PAPB2PC0，即32PA12PBPC0，所以 32，12，34.10.如图，已知矩形 ABCD 的边 AB2，AD1，点 P，Q 分别在边 BC，CD 上，且PAQ45，则APAQ 的最小值为_4 24 解析：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)设PAB，则AP(2,2tan)，
18、AQ tan4，1，0tan12.因为AP AQ(2,2tan)tan4，1 2tan4 2tan21tan1tan 2tan41tan2tan241tan2(tan1)44 24，当且仅当 tan 21 时，“”成立，所以APAQ 的最小值为 4 24.二、解答题11.若点 M 是ABC 所在平面内一点，且满足AM 34AB14AC.(1)求ABM 与ABC 的面积之比；(2)若 N 为 AB 的中点，AM 与 CN 交于点 O，设BO xBM yBN，求 x，y 的值解析：(1)由AM 34AB14AC，可知 M，B，C 三点共线如图，设BM BC，则AM ABBM ABBCAB(ACAB
19、)(1)ABAC，所以 14，所以SABMSABC14，即ABM 与ABC 的面积之比为 14.(2)由BO xBM yBN，得BO xBM y2BA，BO x4BCyBN.由 O，M，A 三点共线及 O，N，C 三点共线，得xy21，x4y1，解得x47，y67.12.在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(1,2)，B(4,5)，OP mOA AB(mR)(1)求 m 的值，使得点 P 在函数 yx2x3 的图象上；(2)以 O，A，B，P 为顶点的四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 m 的值；若不能，请说明理由解析：(1)设 P(x，x2x3)，依题意，有(x，x2x
20、3)m(1,2)(3,3)(m3,2m3)，所以xm3，x2x32m3，解得 m2 或 m3.(2)设 P(x，y)，依题意，有(x，y)(m3,2m3)，所以xm3，y2m3.平行四边形 OABP 中，OA PB，即(1,2)(4x,5y)，则 x3，y3，所以 m0，经检验适合，故 m0 时，四边形 OABP 能成为平行四边形13.在平面直角坐标系中，设向量 a(cos，sin)，bsin6，cos6，其中 02.(1)若 ab，求 的值；(2)若 tan217，求 ab 的值解析：(1)因为 ab，所以 coscos6 sinsin6 0，所以 cos26 0.因为 02，所以62676
21、.于是 262，解得 6.(2)因为 02，所以 02，又 tan2170，故22.因为 tan2sin2cos217，所以 cos27sin20，又 sin22cos221，解得 sin2 210，cos27 210.因此 abcossin6 sincos6sin26sin2cos6cos2sin6 210 32 7 21012 67 220.14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,0)，B(1,1)，C(2,0)，点 P 是平面直角坐标系 xOy 上一点，且OP mABnAC(m，nR).(1)若 m1，且OP BC，试求实数 n 的值(2)若点 P 在ABC 三边围成的区域(含边界)上，求 m3n 的最大值解析：(1)由题设知AB(2,1)，AC(3,0)因为 m1，所以OP ABnAC(2,1)n(3,0)(23n,1)又因为OP BC，BC(1，1)，所以 23n1，得 n1，所以满足题意的实数 n1.(2)设 P(x，y)所以OP mABnACm(2,1)n(3,0)(2m3n，m)(x，y)，所以2m3nx，my，所以nx2y3，my，所以 m3nxy.令 zxy，由图知，当直线 yxz 过点 C(2,0)时，z 取得最大值 2，故 m3n 的最大值为 2.