1、核心模块四 解析几何专题十二 直线与椭圆的位置关系在近三年的高考题中，直线与椭圆的位置关系是解析几何的基本考察的对象，主要是考察在两种曲线共存的情况下，直线的方程或者圆的方程以及椭圆的几何性质，难度比起前几年有所降低年份填空题解答题2016T16考察直线与椭圆的位置关系2017T17考察直线与与椭圆的位置关系2018T18考察直线方程和椭圆的方程目标 1 直线与椭圆的位置关系例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB
2、的垂直平分线分别交直线 l 和 AB于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程解析：(1)由题意，得ca 22 且 ca2c 3，解得 a 2，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.(2)当 ABx 轴时，AB 2，又 CP3，不合题意当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则 x1,22k2 21k212k2，点 C 的坐标为2k212k2，k12k2，且 AB x2x12y2y12 1k2x2x122 21k212k2.若 k0，则线段
3、 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意从而 k0，故直线 PC 的方程为yk12k21kx 2k212k2，则点 P 的坐标为2，5k22k12k2，从而 PC23k21 1k2|k|12k2.因为 PC2AB，所以23k21 1k2|k|12k24 21k212k2，解得 k1.此时直线 AB 的方程为 yx1 或 yx1.【方法归类】1.直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等2.直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数关系来处理【思维变
4、式题组训练】1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：x2a2y2b21 的焦点在椭圆 C2：y2a2x2b21 上，其中 ab0，且点 P63，63 是椭圆 C1，C2 位于第一象限的交点(1)求椭圆 C1，C2 的标准方程；(2)过 y 轴上一点 Q 的直线 l 与椭圆 C2 相切，与椭圆 C1 交于点 A，B，已知QA 35QB，求直线 l 的斜率解析：(1)椭圆 C1：x2a2y2b21 的焦点坐标为(c,0)，代入椭圆 C2 的方程有c2b21.再将点 P63，63 的坐标代入椭圆 C1，C2 的方程有 C1：23a2 23b21，所以 c2b21，a2b2c2，23a2 2
5、3b21，解得 a22，b2c21.所以椭圆 C1，C2 的标准方程分别为x22y21，y22x21.(2)由题意直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(0，m)由 y22x21，ykxm，消去 y 得kxm22x21，即1k22 x2kmxm22 10，k2m241k22 m22 1 0，即 k22m20.由x22y21，ykxm，消去 y 得x22(kxm)21，即12k2 x22kmxm210.因为直线 l 与椭圆 C1 相交，有 4k2m2412k2(m21)4k212m212 0(*)x1,22km4k212m212212k2.因
6、为QA 35QB，即(x1，y1m)35(x2，y2m)，有 5x13x2，所以52km4k212m212212k232km4k212m212212k2或 52km4k212m212212k232km4k212m212212k2，化简，得 km4k212m212或 km4k212m212，即 k2m216k212m212.又因为 k22m20，解得k22，m24或k24，m26，均符合(*)式，故 k 2或 k2.所以直线 l 的斜率为 2或2.2.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 A(0,1)，且椭圆的离心率为 63.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知斜率为 1 的直线 l
7、交椭圆 C 于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且 x1x2，若直线 x3 上存在点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形，求直线 l的方程解析：(1)因为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 A(0,1)，且椭圆的离心率为 63，所以b1，ca 63，a2b2c2，解得 a23，所以椭圆 C 的方程为x23y21.(2)设直线 l 的方程为 yxm，P(3，yP)，由 x23y21，yxm，得 4x26mx3m230.令 36m248m2480，得2mb0)，半焦距为 c.因为椭圆的离心率为12，所以ca12，即 a2c.又因为 A 到右准线的距离为 6，所以 a
8、a2c 3a6，解得 a2，c1，所以 b2a2c23，所以椭圆 E 的标准方程为x24y231.(2)直线 AB 的方程为 y32(x2)，由 y32x2，x24y231，得 x23x20，解得 x2 或 x1.则点 B 的坐标为1，32.由题意，右焦点 F(1,0)，所以直线 BF 方程为 y34(x1)，由 y34x1，x24y231，得 7x26x130，解得 x1 或 x137，所以点 M 的坐标为137，914.【思维变式题组训练】1.已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，且圆C：x2y2 3x3y60 过 A，F2 两点(1)求椭
9、圆 E 的方程(2)设直线 PF2 的倾斜角为，直线 PF1 的倾斜角为，当 23 时，证明：点P 在一定圆上解析：(1)圆 x2y2 3x3y60 与 x 轴的交点坐标分别为 A(2 3，0)，F2(3，0)，故 a2 3，c 3，所以 b3，所以椭圆方程是x212y291.(2)设点 P(x，y)，F1(3，0)，F2(3，0)因为，是直线的倾斜角，且 23，所以，均不可能为2，所以 kPF1tanyx 3，kPF2tanyx 3.因为 23，所以 tan()3.因为 tan()tantan1tantan 2 3yx2y23，所以 2 3yx2y23 3，化简得 x2y22y3.所以点 P
10、 在定圆 x2y22y30 上2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，焦点到相应准线的距离为 1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 为椭圆上的一点，过点 O 作 OP 的垂线交直线 y 2于点 Q，求 1OP2 1OQ2的值思路分析：(1)寻找到基本量 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；(2)抓住 OPOQ，以 OP 的斜率 k 作为参数，求出 P，Q 的坐标，进而求出 OP2和 OQ2，计算得 1OP2 1OQ2的值值得注意的是需要讨论两条直线的斜率是否存在解析：(1)由题意得，ca 22，a2c c1,
11、解得 a 2，c1，b1.所以椭圆的标准方程为x22y21.(2)由题意知 OP 的斜率存在当 OP 的斜率为 0 时，OP 2，OQ 2，所以 1OP2 1OQ21.当 OP 的斜率不为 0 时，设直线 OP 方程为 ykx.由x22y21，ykx，得(2k21)x22，解得 x222k21，所以 y2 2k22k21，所以 OP22k222k21.因为 OPOQ，所以直线 OQ 的方程为 y1kx.由 y 2，y1kx得 x 2k，所以 OQ22k22.所以 1OP2 1OQ22k212k2212k221.综上，可知 1OP2 1OQ21.一、填空题1.以原点为圆心，以椭圆x25y241
12、的右焦点到抛物线 y24x 的准线的距离为半径的圆的方程为_x2y24 解析：椭圆的右焦点为 F(1,0)，抛物线的准线为 x1，则圆的半径为 2，则圆的方程为 x2y24.2.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B两点，连接 AF，BF.若 AB10，BF8，cosABF45，则 C 的离心率为_57 解析：由条件知ABF 为以 F 为直角的直角三角形由对称性可知 2a8614,2c10，所以离心率 eca57.3.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线
13、 AB 的距离为 66 F1F2，则椭圆 C 的离心率 e_.22 解析：设椭圆 C 的焦距为 2c(cb0)的两焦点分别是 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆于 P，Q两点，若 PF2F1F2，且 2PF13QF1，则椭圆的离心率为_35 解析：如图，因为 PF1PF22a，F1F2PF22c，所以 PF12a2c.又因为2PF13QF1，所以 QF143(ac)作椭圆的左准线 l，分别过点 P，Q 作 PMl，QNl，垂足分别为 M，N，再作 QEPM，垂足为 E.由椭圆的第二定义得，PF1PMe，所以 PM2e(ac)，同理 QN4ac3e，所以 EP2ac3e，所以 cosMPQEPP
14、Q 15e，所以 cosPF1F2cosMPQ 15e.在PF1F2中，由余弦定理得 cosPF1F2PF21F1F22PF222PF1F1F2 15e，即 2c5e(ac)，所以 3a5c，eca35.二、解答题5.己知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为12，P 是椭圆 C 上的一个动点，且PF1F2 面积的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设斜率不为零的直线 PF2 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，且 PQ 的垂直平分线交y 轴于点 T0，18，求直线 PQ 的斜率.解析：(1)因为椭圆离心率为12，当 P 为 C 的短轴顶点时，PF
15、1F2 的面积有最大值 3.所以 ca12，a2b2c2，122cb 3，所以a2，b 3，c1，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)设直线 PQ 的方程为 yk(x1)当 k0 时，yk(x1)代入x24y231，得(34k2)x28k2x4k2120.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点为 N(x0，y0)，x0 x1x22 4k234k2，y0y1y22k(x01)3k34k2，即 N4k234k2，3k34k2.因为 TNPQ，则 kTNkPQ1，所以3k4k23184k24k23k1.化简得 4k28k30，解得 k12或 k32，即直线 PQ 的斜率为1
16、2或32.6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，左焦点 F(2,0)，直线 l：yt 与椭圆交于 A，B 两点，M 为椭圆 E 上异于 A，B 的点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 M(6，1)，以 AB 为直径的圆 P 过点 M，求圆 P 的标准方程解析：(1)因为 eca 22，且 c2，所以 a2 2，b2.所以椭圆的方程为x28y241.(2)设点 A(s，t)，则点 B(s，t)，且 s22t28.因为以 AB 为直径的圆 P 过点 M，所以 MAMB，所以MA MB 0.又MA(s 6，t1)，MB(s 6，t1)，所
17、以 6s2(t1)20.由解得 t13或 t1(舍去，因为 M(6，1)，所以 t0)，所以 s2709.又圆 P 的圆心为 AB 的中点(0，t)，半径为AB2|s|，所以圆 P 的标准方程为 x2y132709.7.如图，已知椭圆 C：x2a2y2b21 的离心率为 32，过椭圆 C 上一点 P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点 A，B，直线 AB 与 x 轴交于点 M，与 y 轴负半轴交于点 N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 SPMN32，求直线 AB 的方程解析：(1)由题意c2a234，所以 c234a2，b214a2.又点 P(2,1)在椭圆上，所以 4a2
18、1b21，所以 a28，b22，所以椭圆 C 的方程为x28y221.(2)设直线 PA 的方程为 y1k(x2)，代入方程 x24y28 得(14k2)x28(2k1)x16k216k40.因为方程的一根为 2，所以 xA8k28k214k2，yA4k24k114k2，所以 A8k28k214k2，4k24k114k2.因为直线 PA 与 PB 的倾斜角互补，所以 kPAkPB.同理可得 B8k28k214k2，4k24k114k2，所以 kAByByAxBxA12.设直线 AB 的方程为 y12xm，即 x2y2m0，所以点 M(2m,0)，N(0，m)(mb0)的左、右顶点分别为 A，B
19、，离心率为12，点 P1，32为椭圆上一点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，过点 C(0,1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN 的斜率为 k2，若 k12k2，求直线 l 斜率的值解析：(1)因为椭圆的离心率为12，所以 a2c.又因为 a2b2c2，所以 b 3c.所以椭圆的标准方程为 x24c2 y23c21.又因为点 P1，32 为椭圆上一点，所以 14c2943c21，解得 c1.所以椭圆的标准方程为x24y231.(2)由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 ykx1.设 M(x1，y1)，N(x2
20、，y2)联立方程组x24y231，ykx1，消去 y 可得(34k2)x28kx80.所以由根与系数关系可知 x1x28k34k2，x1x2834k2.因为 k1 y1x12，k2 y2x22，且 k12k2，所以 y1x12 2y2x22.即y21x1224y22x222.又因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以 y2134(4x21)，y2234(4x22)将代入可得2x12x142x22x2，即 3x1x210(x1x2)120.所以 3834k2 108k34k2 120，即 12k220k30.解得 k16或 k32，又因为 k1，所以 k32.9.如图，在平面直角坐
21、标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且过点1，32.过椭圆 C 的左顶点 A 作直线交椭圆 C 于另一点 P，交直线 l：xm(ma)于点 M.已知点 B(1,0)，直线 PB 交 l 于点 N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值解析：(1)因为椭圆 C 的离心率为 32，所以 a24b2.又因为椭圆 C 过点1，32，所以 1a234b21，解得 a24，b21.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)设 P(x0，y0)，2x02，x01，则x204y201.因为 MB 是线段 PN 的垂直平分线，
22、所以点 P 关于点 B 的对称点 N(2x0，y0)，所以 2x0m.由 A(2,0)，P(x0，y0)，可得直线 AP 的方程为 y y0 x02(x2)，令 xm，得 yy0m2x02，即 Mm，y0m2x02.因为 PBMB，所以 kPBkMB1，所以 kPBkMB y0 x01y0m2x02m1 1，即y20m2x01x02m11.因为x204y201，所以 x02m24x01m11.因为 x02m，所以化简得 3m210m40，解得 m5 133.因为 m2，所以 m5 133.10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1，F
23、2，右顶点、上顶点分别为 A，B，原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab.(1)若椭圆 C 的离心率为 63，求椭圆 C 的方程；(2)若过点(0,1)的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P，且 P 在第二象限，直线 PF2交 y 轴于点 Q.试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1 的位置关系，并说明理由解析：由题意，得点 A(a,0)，B(0，b)，直线 AB 的方程为xayb1，即 bxayab0.由题设，得|ab|a2b2ab，化简得 a2b21.(1)因为 eca 63，所以a2b2a223，即 a23b2.由，解得a234，b214.所以椭圆 C 的方程为4x23 4y21.(2)
24、点 F1 在以 PQ 为直径的圆上由题设，直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx1.由x2a2y2b21，ykx1得(b2a2k2)x22ka2xa2a2b20(*),则(2ka2)24(b2a2k2)(a2a2b2)0，化简得 1b2a2k20，所以 k21b2a2 1.把 k1 代入方程(*)，得 x22a2xa40，解得 xa2，从而 yb2，所以 P(a2，b2)从而直线 PF2 的方程为 yb2b2a2c(xa2)令 x0，得 y b2ca2c，所以点 Q0，b2ca2c.从而F1P(a2c，b2)，F1Q c，b2ca2c，从而F1P F1Q c(a2c)b4ca2cca4b4c2a2ccb2a2b2a2c2a2c0，所以F1P F1Q 0.所以点 F1 在以 PQ 为直径的圆上.
