1、2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.1数列的一个通项公式是（）ABCD2已知|=|=2，向量与的夹角为60，则|等于（）ABC2D43设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a42，3S2=a32，则公比q=（）A3B4C5D64下列不等式中，解集为R的是（）Ax2+4x+40B|x|0Cx2xDx2x+05在ABC中，为BC边的中点，设=， =，则=（）ABCD6已知xyz，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）AxyyzBxzyzCxyxzDx
2、|y|z|y|7在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=（）ABCD8已知在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且a=4，b+c=5A=60，则ABC的面积为（）AB3CD9数列an的通项公式是an=，前n项和为9，则n等于（）A9B99C10D10010在ABC中，若，则ABC是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰或直角三角形D钝角三角形11如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则=（）ABC RD R12设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13如果向量
3、与共线且方向相反，则k=14如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=15若对x0，y0，有（x+2y）（+）m恒成立，则m的最大值为16若an=log（n+1）（n+2）（nN），我们把使乘积a1a2an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内所有劣数的和为三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17如图，在ABC中，点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足（1）若BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小18某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人为了了解其投篮成绩，甲、
4、乙两人分别都对全班的学生进行编号（150号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，如表是甲、乙两人分别抽取的样本数据：编号271217222732374247性别男女男男女男女男女女投篮成 绩90607580838575807060乙抽取的样本数据编号181020232833354348性别男男男男男男女女女女投篮成 绩95858570708060657060（）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望优秀非优秀合计男女合计1019如图，在四棱锥SABCD中
5、，ABAD，ABCD，CD=3AB，平面SAD平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SMAD（）证明：BM平面SMC；（）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角SBMN为时，求的值20已知F为椭圆C： +=1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，求：（1）直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由21已知f（x）=x2ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）（1）
6、若f（x）g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1（0，），若h（x1）h（x2）m恒成立，求实数m的最大值22在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为=（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求+的值2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.1数列的一个通项公式是（）ABCD【
7、考点】数列的概念及简单表示法【分析】根据所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（1）n，由此写出此数列的一个通项公式【解答】解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（1）n，故此数列的一个通项公式是故选B【点评】本题主要考查数列的概念及简单表示法，考察学生的分析和观察能力，属于基础题，2已知|=|=2，向量与的夹角为60，则|等于（）ABC2D4【考点】向量的模；平面向量数量积的运算【分析】利用向量的模的平方，直接求|的值即可【解答】解：|2=（）2=|2+|22=4+44=4，所以|=2，故选C【点评】向量模的平方求向量的模，考查向量的数量积求运算，
8、计算能力3设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a42，3S2=a32，则公比q=（）A3B4C5D6【考点】等比数列的通项公式【分析】3S3=a42，3S2=a32，两式相减得3a3=a4a3，由此能求出公比q=4【解答】解：Sn为等比数列an的前n项和，3S3=a42，3S2=a32，两式相减得3a3=a4a3，a4=4a3，公比q=4故选：B【点评】本题考查公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4下列不等式中，解集为R的是（）Ax2+4x+40B|x|0Cx2xDx2x+0【考点】一元二次不等式的解法【分析】分别求出选项中不等式的解集，即可得出结论【解
9、答】解：对于A，不等式x2+4x+40的解集是x|x2，不满足题意；对于B，不等式|x|0的解集是x|x0，不满足题意；对于C，不等式x2x可化为x2+x0，其解集是x|x1或x0，不满足题意；对于D，不等式x2x+0可化为0，其解集是R，满足题意故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目5（2007广州市水平测试）在ABC中，为BC边的中点，设=， =，则=（）ABCD【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】直接根据三角形法则得到=+再转化为+（），整理即可得到结论【解答】解：因为：在ABC中，为BC边的中点，=+=+（）=+=+故选：A【点评】本题考查平面向量
10、基本定理及其应用，此类题目若选择合适的基向量，则能较好的表示出其他有关向量，简化运算量6已知xyz，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）AxyyzBxzyzCxyxzDx|y|z|y|【考点】不等关系与不等式【分析】根据xyz和x+y+z=0，有3xx+y+z=0，3zx+y+z=0，从而得到x0，z0再不等式的基本性质，可得到结论【解答】解：xyz3xx+y+z=0，3zx+y+z=0，x0，z0由得：xyxz故选C【点评】本题主要考查不等式的放缩及不等式的基本性质的灵活运用，属基础题7在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=（）ABCD【考点】正弦定理；同角三角函数间的
11、基本关系【分析】先利用正弦定理求出sinB，再利用同角三角函数的平方关系，可得结论【解答】解：由正弦定理可得，sinB=ab，A=60，AB，=故选C【点评】本题考查正弦定理的运用，考查同角三角函数的平方关系，属于中档题8已知在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且a=4，b+c=5A=60，则ABC的面积为（）AB3CD【考点】正弦定理【分析】利用余弦定理，结合条件求出cb，再利用三角形的面积公式，即可得出结论【解答】解：a=4，A=60，a2=c2+b22cbcosA，16=c2+b2cb，16=（c+b）23cb，b+c=5，cb=3，ABC的面积为cbsinA=故选：C【点评】
12、本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用9数列an的通项公式是an=，前n项和为9，则n等于（）A9B99C10D100【考点】数列递推式【分析】由an=，利用裂项求和法求解【解答】解：an=，前n项和为9，Sn=9，=10，解得n=99故选：B【点评】本题考查数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推公式的灵活运用10在ABC中，若，则ABC是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰或直角三角形D钝角三角形【考点】正弦定理的应用【分析】先由正弦定理得求出sinAcosA=sinBcosB，利用倍角公式化简得sin2A=sin2B，因ab，进而求出，A+B=【解答】解：由正弦定理
13、得，sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B或2A+2B=，但ab，2A2B，A+B=，即ABC是直角三角形故选A【点评】本题主要考查正弦定理的应用属基础题11如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则=（）ABC RD R【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据AC为半径，C圆心，AB为弦，可得在上的投影为|，再根据=|，计算求得结果【解答】解：由于AC为半径，C圆心，AB为弦，故在上的投影为|，=|=55=，故选：B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于中档题12设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，
14、Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，Sm=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，故选C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13如果向量与共线且方向相反，则k=2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表
15、示【分析】根据两个向量共线，写出两个向量共线的坐标形式的充要条件，代入向量的坐标，根据横标和纵标分别相等，得到关于k和的方程组，解方程组，得到的值，根据两个向量反向，舍去不合题意的，得到k的值【解答】解：向量与共线（k，1）=（4，k）k=4，1=k，1=42，=共线且方向相反k=2，故答案为：2【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，考查方程思想的应用，是一个基础题，本题的运算量非常小，若出现是一个送分题目14如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=28【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列下表和的性质若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有am+an=ap
16、+aq可得答案【解答】解：在等差数列an中，若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq因为a3+a4+a5=12，所以a4=4所以a1+a2+a7=7a4=28故答案为28【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质，以及进行准确的运算15若对x0，y0，有（x+2y）（+）m恒成立，则m的最大值为8【考点】基本不等式【分析】先根据不等式的基本性质求出（x+2y）（+）的最小值为8，再根据不等式恒成立的问题求出m的范围，问题得以解决【解答】解：x0，y0，（x+2y）（+）=2+2+4+2=8，当且仅当x=2y时取等号，（x+2y）（+）的最小值为8，对x0，
17、y0，有（x+2y）（+）m恒成立，m8，m的最大值为8，故答案为：8【点评】本题考查了不等式的基本性质和不等式恒成立的问题，属于中档题16若an=log（n+1）（n+2）（nN），我们把使乘积a1a2an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内所有劣数的和为2026【考点】对数的运算性质【分析】由已知中an=log（n+1）（n+2），利用对数的运算性质（换底公式的推论），我们可以得到乘积a1a2an=log2（n+2），则当n+2为2的整数次幂时，n为劣数，即所有劣数n，对应的n+2构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式，易求出区间（1，2004）
18、内所有劣数的和【解答】解：an=log（n+1）（n+2）a1=log23；a2=log34；a3=log45；则a1a2an=log23log34log45log（n+1）（n+2）=log2（n+2）当n+2为2的整数次幂时，a1a2an为整数则在区间（1，2004）内所有劣数n，对应的n+2构成一个以4为首项，以2为公比的等比数列，且满足条件的最后一项为1024则区间（1，2004）内所有劣数的和为：（42）+（82）+（162）+（10242）=（4+8+16+1024）29=204418=2026故答案为：2026【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的前n项和公式，其中
19、根据对数的运算性质将a1a2an化为log2（n+2），是解答本题的关键，解答时，要注意在区间（1，2004）内最小的劣数对应的n+2为4，而不是2三、解答题：（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17如图，在ABC中，点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足（1）若BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小【考点】解三角形【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在BCD中，由正弦定理可得，结合BDC=2A，即可得结论【解答】解：（1）BCD的面积为，BD=在BCD中，由余弦定理可得=；（2），CD=AD=在
20、BCD中，由正弦定理可得BDC=2AcosA=，A=【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题18某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（150号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，如表是甲、乙两人分别抽取的样本数据：编号271217222732374247性别男女男男女男女男女女投篮成 绩90607580838575807060乙抽取的样本数据编号
21、181020232833354348性别男男男男男男女女女女投篮成 绩95858570708060657060（）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望优秀非优秀合计男426女044合计4610（）请你根据乙抽取的样本数据完成下列22列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0100.0050.001k2.0722.7063.8416.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d
22、）【考点】独立性检验的应用【分析】（）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4，X的取值为0，1，2，3.，即可求X的分布列和数学期望（）写出22列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（）利用分层抽样方法比系统抽样方法的定义，可得结论【解答】解：（）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4，X的取值为0，1，2，3.分布列为：X0123P（6分）（）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得22列联表如下：优秀非优秀合计男426女044合计4610K2=4.4443.841，所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关（）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样 由（）的结论知
23、，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优【点评】本题主要考查概率与独立性检验相交汇、X的分布列和数学期望等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题19如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD=3AB，平面SAD平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SMAD（）证明：BM平面SMC；（）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角SBMN为时，求的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（I）利用平面几何知识证明BMMC
24、，结合SM平面ABCD可得SMBM，于是BM平面SMC；（II）设AB=1，利用SBM=，SMN=可求出SM，SC，在SMN中使用正弦定理求出SN，即可得出的值【解答】解：（I）证明：平面SAD平面ABCD，SMADSM平面ABCD，又BM平面ABCDSMBM又AM=AB，DM=DCBMA=DMC=，BMC=，即CMBM，又SM平面SMC，MC平面SMC，SMMC=M，BM平面SMC（II）SM平面ABCD，SBM为SB与平面ABCD所成的角，SBM=SM=BM由（1）得BM平面SMC，MN平面SMC，BMMN，又BMSM，SMN为二面角SBMN的平面角即SMN=设AB=1，则SM=BM=，D
25、M=DC=3，MC=3SC=2sinMSN=cosMSN=sinSNM=sin（MSN+SMN）=在SMN中，由正弦定理得=，SN=，【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题20已知F为椭圆C： +=1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，求：（1）直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其椭圆的第二定义即可得出；（2）当DEx轴时，把x=
26、1代入椭圆方程解得D，E可得直线AD的方程：y=，解得M，N，可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点设直线DE的方程为：my=x1，D（x1，y1），E（x2，y2）与椭圆方程联立化为（3m2+4）y2+6my9=0，直线AD的方程为：y=，可得M，同理可得N利用根与系数的关系可证明=0，即可得出结论【解答】解：（1）由椭圆C： +=1，可得a=2，c=1，右焦点F（1，0），其离心率e=椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，=4直线l方程为：x=4；（2）当DEx轴时，把x=1代入椭圆方程解得y=，D，E可得直线A
27、D的方程：y=，解得M（4，3），同理可得N（4，3），可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点证明：设直线DE的方程为：my=x1，D（x1，y1），E（x2，y2）联立，化为（3m2+4）y2+6my9=0，y1+y2=，y1y2=直线AD的方程为：y=，可得M，同理可得N=9+=9+=99=0，以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），G（7，0）同理可证：以MN为直径的圆恒过一定点G（7，0）因此以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），（7，0）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系
28、、直线的方程、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知f（x）=x2ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）（1）若f（x）g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1（0，），若h（x1）h（x2）m恒成立，求实数m的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题【分析】（1）f（x）g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立x2axlnx0恒成立，x0a，x0令u（x）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出（2）由题意知道：h（x）=x2ax+lnx则=（x0），所以方程2x
29、2ax+1=0，（x0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，可得（1，+），且，（i=1，2），而h（x1）h（x2）=，（x21）设u（x）=（x1），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）f（x）g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立x2axlnx0恒成立，x0a，x0令u（x）=，x0，则u（x）=1=，当x=1时，x2+lnx1=0；当x1时，u（x）0，此时函数u（x）单调递增；当0x1时，u（x）0，此时函数u（x）单调递减因此当x=1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（1）=1实数a的取值范围是（，1（2）由题意知道：h（x）=x2ax+lnx则=（x0），
30、所以方程2x2ax+1=0，（x0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，又，（1，+），且，（i=1，2），而h（x1）h（x2）=+=+=，（x21）设u（x）=（x1），则u（x）=0，u（x）u（1）=，即h（x1）h（x2）恒成立，因此实数m的最大值为ln2【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题22在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为=（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求+的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（I）对极坐标方程两边同乘，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）求出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义求出【解答】解：（I）=，2cos2=sin，曲线C的直角坐标方程是x2=y，即y=x2（II）直线l的参数方程为（t为参数）将（t为参数）代入y=x2得t24=0t1+t2=，t1t2=4+=【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题
