1、直线与圆大 题 考 法直线与圆的 位置关系 题型(一)主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.典例感悟例 1 如图，在 RtABC 中，A 为直角，AB 边所在直线的方程为 x3y60，点 T(1，1)在直线 AC 上，BC中点为 M(2，0)(1)求 BC 边所在直线的方程；(2)若动圆 P 过点 N(2，0)，且与 RtABC 的外接圆相交所得公共弦长为 4，求动圆 P 中半径最小的圆方程解(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x3y60，AC与 AB 垂直，所以直线 AC 的斜率为3.故 AC 边所在直线的方程为 y13(x1)，即 3xy20.设 C 为(x0，3x02
2、)，因为 M 为 BC 中点，所以 B(4x0，3x02)点 B 代入 x3y60，解得 x045，所以 C45，25.所以 BC 所在直线方程为 x7y20.(2)因为 RtABC 斜边中点为 M(2，0)，所以 M 为 RtABC 外接圆的圆心 又 AM2 2，从而 RtABC 外接圆的方程为(x2)2y28.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r（a2）2b2，圆方程为(xa)2(yb)2r2.由于P 与M 相交，则公共弦所在直线 m 的方程为(42a)x2bya2b2r240.因为公共弦长为 4，M 半径为 2 2，所以 M(2，0)到 m 的距离 d2，即|2（42a）a
3、2b2r24|2（2a）2b22，化简得 b23a24a，所以 r（a2）2b24a24.当 a0 时，r 最小值为 2，此时 b0，圆的方程为 x2y24.方法技巧 解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组演练冲关(2019连云港模拟)已知圆 O1：x2y225，点 P 在圆 O2：x2y2r2(0r5
4、)上，过点 P 作圆 O2 的切线交圆 O1 于点 M，N两点，且 r，OM，MN 成等差数列(1)求 r；(2)若点 P的坐标为(4，3)，与直线 MN 平行的直线 l 与圆 O2交于 A，B 两点，则使AOB 的面积为 4 3的直线 l 有几条？并说明理由解：(1)显然圆 O1 和圆 O2 是圆心在原点的同心圆 连接 OP，则 OPMN，OM5，OPr，在直角三角形 MOP 中，MP 52r2，所以 MN2 52r2.由 r，OM，MN 成等差数列，得 2OMrMN，即 25r2 25r2，解得 r4.(2)因为点 P的坐标为(4，3)，所以 kOP34，所以直线 l 的斜率 k43，设直
5、线 l 的方程为 y43xb，即 4x3y3b0.设圆心到该直线的距离为 d，则 d|3b|5，则 AB2 42d2，所以 SAOB12ABd 42d2d4 3，整理得 d416d2480，(d24)(d212)0，解得 d2 或 d2 3，因为 d|3b|5，从而对应的 b 有 4 个解：b103 或 b10 33，检验知均符合题意，故使AOB 的面积为 4 3的直线 l 有 4 条.题型(二)圆中的定点、定值问题 主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.典例感悟 例 2 已知圆 C：x2y29，点 A(5，0)，直线 l：x
6、2y0.(1)求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程；(2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标解(1)设所求直线方程为 y2xb，即 2xyb0.因为直线与圆 C 相切，所以|b|22123，解得 b3 5.所以所求直线方程为 2xy3 50.(2)法一：假设存在这样的点 B(t，0)当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(3，0)时，PBPA|t3|2；当点 P 为圆 C 与 x 轴的右交点(3，0)时，PBPA|t3|8.依题意，|t3|2|t3|8，解得 t95或
7、t5(舍去)下面证明点 B95，0 对于圆 C 上任一点 P，都有PBPA为一常数 设 P(x，y)，则 y29x2，所 以 PB2PA2 x952y2（x5）2y2 x2185 x9x28125x210 x259x2 1825（5x17）2（5x17）925.从而PBPA35为常数 法二：假设存在这样的点 B(t，0)，使得PBPA为常数，则PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，将 y29x2代入，得 x22xtt29x22(x210 x259x2)，即 2(52t)x342t290 对 x3，3恒成立，所以52t0，342t290.解得35，t95或1，t5(舍去)故存在点
8、B95，0 对于圆 C 上任一点 P，都有PBPA为常数35.方法技巧 关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明演练冲关1(2019无锡天一中学模拟)已知以点 Ct，2t 为圆心的圆与 x轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为坐标原点(1)求证：OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若 OMON，求圆 C 的方程解：(1)证明：由题意知圆 C 过原点 O，
9、半径 rOC.OC2t24t2，设圆 C 的方程为(xt)2y2t2t24t2，令 y0，得 x10，x22t，则 A(2t，0)令 x0，得 y10，y24t，则 B0，4t.SOAB12OAOB12|2t|4t 4，即OAB 的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC 垂直平分线段 MN.kMN2，kOC12，直线 OC 的方程为 y12x.2t12t，解得 t2 或 t2.当 t2 时，圆心 C 的坐标为(2，1)，r|OC|5，此时圆心 C 到直线 y2x4 的距离 d 15 5，圆 C 与直线 y2x4 不相交，圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.2已知圆 M 的方程为 x2(y
10、2)21，直线 l 的方程为 x2y0，点 P 在直线 l 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B.(1)若APB60，求点 P 的坐标；(2)若 P 点的坐标为(2，1)，过 P 作直线与圆 M 交于 C，D两点，当 CD 2时，求直线 CD 的方程；(3)求证：经过 A，P，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)设 P(2m，m)，因为APB60，AM1，所以 MP2，所以(2m)2(m2)24，解得 m0 或 m45，故所求点 P 的坐标为 P(0，0)或 P85，45.(2)易知直线 CD 的斜率存在，可设直线 CD 的方程为 y1k(x2)，由题知圆
11、心 M 到直线 CD 的距离为 22，所以 22|2k1|1k2，解得 k1 或 k17，故所求直线 CD 的方程为 xy30 或 x7y90.(3)设 P(2m，m)，MP 的中点 Qm，m21，因为 PA 是圆 M 的切线，所以经过 A，P，M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆，故其方程为(xm)2ym21 2m2m21 2，化简得 x2y22ym(2xy2)0，此式是关于 m 的恒等式，故x2y22y0，2xy20，解得x0，y2或x45，y25.所以经过 A，P，M 三点的圆必过定点(0，2)或45，25.题型(三)与直线、圆有关的 最值或范围问题 主要考查与直线和圆有关
12、的长度、面积的最值或有关参数的取值范围问题.典例感悟 例 3 已知ABC 的三个顶点 A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为圆 H.(1)若直线 l 过点 C，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l的方程；(2)对于线段 BH 上的任意一点 P，若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，求圆C 的半径 r 的取值范围解(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x0，线段 BC 的垂直平分线方程为 xy30.所以外接圆圆心 H(0，3)，半径为 1232 10.圆 H 的方程为 x2(y3)210.设圆心 H 到直线 l 的距离为 d，因为直
13、线 l 被圆 H 截得的弦长为 2，所以 d（10）213.当直线 l 垂直于 x 轴时，显然符合题意，即 x3 为所求；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线方程为 y2k(x3)，则|3k1|1k23，解得 k43.所以直线 l 的方程为 y243(x3)，即 4x3y60.综上，直线 l 的方程为 x3 或 4x3y60.(2)直线 BH 的方程为 3xy30，设 P(m，n)(0m1)，N(x，y)因为点 M 是线段 PN 的中点，所以 Mmx2，ny2，又 M，N 都在半径为 r 的圆 C 上，所以（x3）2（y2）2r2，mx23 2ny2 2 2r2，即（x3）2（y2）2r2，
14、（xm6）2（yn4）24r2.因为该关于 x，y 的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r 为半径的圆与以(6m，4n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又 3mn30，所以 r210m212m109r2 对任意的 m0，1成立 而 f(m)10m212m10 在0，1上的值域为325，10，所以 r2325 且 109r2.又线段 BH 与圆 C 无公共点，所以(m3)2(33m2)2r2 对任意的 m0，1成立，即 r2325.故圆 C 的半径 r 的取值范围为103，4 105.方法技巧 1隐形圆问题有些时候，在条件中没有直接给出圆方
15、面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题2隐形圆的确定方法(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点 P 对两定点 A，B 张角是 90(kPAkPB1)确定隐形圆；(3)两定点 A，B，动点 P 满足 PA PB 确定隐形圆；(4)两定点 A，B，动点 P 满足 PA2PB2 是定值确定隐形圆；(5)两定点 A，B，动点 P 满足 PAPB(0，1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(6)由圆周角的性质确定隐形圆3与圆有关的最值或范围问题的求解策略与圆有关的最值或取值范围问题
16、的求解，要对问题条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，要掌握解决问题常使用的思想方法，如要善于利用数形结合思想，利用几何知识，求最值或范围，要善于利用转化与化归思想将最值或范围转化为函数关系求解演练冲关 1在等腰ABC 中，已知 ABAC，且点 B(1，0)点 D(2，0)为 AC 的中点(1)求点 C 的轨迹方程；(2)已知直线 l：xy40，求边 BC 在直线 l 上的射影 EF长的最大值解：(1)设 C(x，y)，D(2，0)为 AC 的中点 A(4x，y)，B(1，0)，由 ABAC，得 AB2AC2.(x5)2y2(2x4)2(2y)2，整理得(x1
17、)2y24.A，B，C 三点不共线，y0，则点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)法一：由条件，易得 BE：xy10.设 CF：xyb0.当 EF 取得最大值时，直线 CF 与圆(x1)2y24 相切，设 M(1，0)，则 M 到 CF 的距离为|10b|22.b2 21(舍去)或 b2 21.CF：xy2 210.EFmax等于点 B 到 CF 的距离|102 21|2 22.法二：设点 M(1，0)，如图，过点 C 的轨迹圆心 M 作 BE，CF 的垂线，垂足分别为 G，H，则四边形 EFHG 是矩形 EFGHGMMH.由条件，得 MGBM2 22 2.MH 的最大值为半径 2
18、.EFmax 22.2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TATPTQ，求实数 t 的取值范围解：圆 M 的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心 M(6，7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6，y0)因为圆 N 与
19、x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0y07，圆 N 的半径为 y0，从而 7y05y0，解得 y01.因此，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线 lOA，所以直线 l 的斜率为40202.设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0，则圆心 M 到直线 l 的距离 d|267m|5|m5|5.因为 BCOA22422 5，而 MC2d2BC22，所以 25（m5）255，解得 m5 或 m15.故直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150.(3)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为 A(2，4)，T(t，0)，TA TP TQ，所以x2x12t，y2y14.因为点 Q 在圆 M 上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点 P(x1，y1)既在圆 M 上，又在圆x(t4)2(y3)225 上，从而圆(x6)2(y7)225 与圆x(t4)2(y3)225 有公共点，所以 55（t4）62（37）255，解得 22 21t22 21.因此，实数 t 的取值范围是22 21，22 21
