1、高三第一学期阶段性测试数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABCD2已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）ABCD3中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知等差数列的前项和为，若，则（）A7BCD105教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗
2、通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据）A11分钟 B14分钟 C15分钟 D20分钟6已知，则（）ABCD7若过点可作曲线三条切线，则（）A BC或D 8已知函数，若函数恰有5个零点，且，则的取值范围是（）A B CD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分9已知复数z满足，则（）ABCD10已知为圆的直径，直线与轴交于点（三点不共线），则（）A与恒有公共点B是钝角三角形C的面积的最大值为
3、1D被截得的弦的长度的最小值为11如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的是（）A若E为的中点，则直线平面B三棱锥的体积为定值CE为的中点时，直线与平面所成的角正切值为D过点，C，E的截面的面积的范围是12设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是（ ）A函数的图象关于对称B的周期为 CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中项的系数是_（用数字作答）14已知函数，若，则_ 15设函数是定义在上的偶函数，为其导函数当时，且，则不等式的解集为_ 16已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值
4、点，则的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.（本小题满分10分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若为边中点，且，求的最小值.18.（本小题满分12分）已知数列满足，.(1)记，求证：数列是等比数列；(2)若，求.19（本小题满分12分）已知函数在上有两个极值点，且(1)求实数的取值范围；(2)证明：当时，20（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点，是边长为1的等边三角形，且(1)证明：；(2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值21.（本小题满分12分）已知为双曲线的焦点，点在
5、上(1)求的方程；(2)点在上，直线与轴分别相交于两点，若，证明：直线过定点.22（本小题满分12分）已知函数，其中为实数.(1)求的极值；(2)若有4个零点，求的取值范围.高三第一学期阶段性测试数学参考答案CBCBAADB BD ABD BCD ABC 17.解： (1),由正弦定理得.1分，.2分，3分又,， 5分(2)为边中点，即, 6分，, 7分，即, 当且仅当时取等号, 8分，9分，即.故的最小值为. 10分18.解：（1）因为，所以，故，故，2分当时，故，5分所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；6分（2）由（1）知：，故，7分其中，8分故，9分设，11分故.12分19（1）解：
6、，1分函数在上有两个极值点，且由题意知方程在上有两不等实根，2分设，其图像的对称轴为直线，故有 ，解得 实数的取值范围是.5分（2）证明：由题意知是方程的较大的根，故，6分由于，8分设，9分在单调递增，10分，即成立11分当时， 12分20（1）证明：，为的中点 1分又平面平面，平面平面，平面 平面 3分平面4分（2）解：分别取的中点为，连结，为的中点，是边长为1的等边三角形是直角三角形， 5分的中点为， ，由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形，6分以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，7分若在棱上存在点，使二面角的大小为，设，,， 8分是平面的一个法向量 9
7、分设是平面的一个法向量，则即取， 10分二面角的大小为，即 11分整理得，解得，或（舍去），即，在棱上存在点，使二面角的大小为，.12分21.解：（1）设双曲线的方程为，由题意知，解得，双曲线的方程为；4分（2）设直线的方程为，消去，得，则， 6分直线方程为，令，则，同理， 7分由，可得，8分，即， 10分当时，此时直线方程为，恒过定点，显然不可能；11分，此时直线方程为，恒过定点，12分22解：解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得， 2分所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，即，无极小值. 4分（2）由即，可得，令，则，5分设，则，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，且，即，所以存在，使得，即，7分故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故的极大值为，极小值为和对式两边取对数可得，将代入得，同理可得，9分要使有四个零点，则必有，解得，10分而，11分由零点存在定理可知，当时有且仅有个零点，即有个零点，所以实数的取值范围为.12分
