1、专题五圆的综合探究,考标完全解读)近几年来，在宜宾市的中考数学题或全国各地市的中考题中，频繁出现与圆有关的证明和计算的综合题目，这类题目涉及的数学知识广泛，要求考生解答数学问题的能力高，用到的数学方法多，灵活性强，因此该类题目备受出题者的青睐，从题目呈现形式看有：选择题、填空题、解答题；从题目的类型看有：圆的证明、计算、探究题；从题目中的知识角度看有：圆与三角形综合、圆与四边形综合、圆与函数综合、圆与解直角三角形综合无论是什么题型、涉及什么知识，解答时都要用到圆中的基本概念、判定和性质解数学中圆的问题时一要树立信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略现介绍几种常用的
2、解题策略，供九年级同学参考1准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题2既能从距离与半径的数量关系，确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索相应半径与距离的数量关系3利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解答与角、线段相等有关的几何问题4会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理解答一类与圆相关的几何问题5会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长，圆、扇形、弓形的面积公式解决一类与圆柱、圆锥的侧面积有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积6充分利用圆的有关知识解决
3、一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题7综合运用圆、方程、函数、三角形、相似形等知识解决一类与圆有关的问题,典型题型讲练)圆与全等三角形结合【例1】如图，AB是O的直径，C是半圆的中点，M，D分别为CB及AB的延长线上一点，且MAMD，CM，求BD的长【解析】首先过点M作MNAD于点N，连结OC，易得OBC为等腰直角三角形，BMN也为等腰直角三角形，则可得BCOB，BMBN，继而求得ON的长，则可求得答案【答案】解：过点M作MNAD于点N，连结OC，如答图MAMD，ANDN，C为半圆中点，OCOB，OBC为等腰直角三角形，MNOC，OBCBMN，BMN也为等腰直角三角形，BCOB，
4、BMBN，CMCBBM (OBBN)ON，CM，ON1，BDADAB，2(ONOA)(OAOB)2ON2OA2OA2ON2.【点评】本题主要考查的知识点有等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、圆周角通过三角形相似，表示出线段之间的数量关系是解决本题的关键【针对练习】1已知AB是O的直径，直线BC与O相切于点B，ABC的平分线BD交O于点D，AD的延长线交BC于点C. (1)求BAC的度数；(2)求证：ADCD.解：(1)AB是O的直径，ADB90，CDB90，BDAC，BD平分ABC，ABDCBD，在ABD和CBD中，ABDCBD(A.S.A.)，ABCB，直线BC与O相切于点B，ABC90
5、，BACC45；(2)ABCB，BDAC，ADCD.【解题心得】圆与相似三角形结合【例2】如图，AB，AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.(1)若PCPF，求证：ABED；(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DEDF，为什么？【解析】(1)作辅助线，连结OC.根据切线的性质，OCPC.根据PCPF，OCOA，可得：PCFPFC，OCFOAC.在RtFHA中，可得：FHA90，故ABED；(2)根据AD2DEDF，可得：FADAED，FADDEA.从而可知：，即D在劣弧AC的中点【答案】 解：
6、(1)连结OC，如答图PC为O的切线，OCPFCPOCF90，PCPF，PCFPFC.OAOC，OCAOAC.CFPAFH，AFHOAC90，AHF90，即ABED；(2)D在劣弧AC的中点时，才能使AD2DEDF.理由：连结AE.若AD2DEDF，可得：FADAED，FADDEA，即D为劣弧AC的中点时，能使AD2DEDF.【点评】本题主要考查的知识点有切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质灵活运用切线的性质和相似三角形的判定是解决本题的关键【针对练习】2如图，已知PC与O交于点B，点A在O上，且PCABAP.(1)求证：PA是O的切线；(2)ABP和CAP相似吗？为什么？(3)若P
7、BBC23，且PC20，求PA的长解：(1)作O的直径AD，连结BD.CD，ABD90，DBAD90，CBAD90.又PCABAP，BADPAB90.即APAD，PA是O的切线；(2)ABPCAP.理由如下：PCABAP，CAPP，ABPCAP；(3)PBBC23，且PC10，PB4.又PA2PBPC，PA241040，PA2.【解题心得】圆与四边形的综合【例3】 半径为2 cm的O与边长为2 cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，O与l相切于点F，DC在l上(1)过点B作O的一条切线BE，E为切点填空：如图，当点A在O上时，EBA的度数是_；如图，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA
8、的长；(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(如图)，至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与O的公共点，求扇形MON的面积的范围【解析】(1)根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA的度数即可；利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出OA；(2)设MONn，得出扇形MON的面积进而利用函数增减性当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大；当MNDC2时，MN最小，分别求出即可【答案】解：(1)30；直线l与O相切于点F，OFD90.正方形ADCB中，ADC90，OFAD.OFAD2，四边形OFDA为平行四边形OFD90，
9、平行四边形OFDA为矩形，DAAO.正方形ABCD中，DAAB，O，A，B三点在同一条直线上，EAOB.OEBOAE，EOABOE，OE2OAOB，OA(2OA)4，解得：OA1，OA0，OA1；(2)如图，连结MN，设MONn，S扇形MON22n(cm2)， S随n的增大而增大，MON取最大值时，S扇形MON最大，当MON取最小值时， S扇形MON最小，过O点作OKMN于K，MON2NOK，MN2NK，在RtONK中，sinNOK，NOK随NK的增大而增大，MON随MN的增大而增大，当MN最大时MON最大，当MN最小时MON最小，当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MNBD，MON
10、BOD90， S扇形MON最大 cm2，当MNDC2 cm时，MN最小，ONMNOM，NOM60，S扇形MON最小 cm2， cm2S扇形MON cm2.【点评】此题是融计算、探究为一体的综合题，(1)简单易上手；(2)将正方形、圆、平移综合在一起探究扇形面积的最大值与最小值，难度大，对学生的数学能力要求高本题主要考查了圆的综合应用、相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题的关键【针对练习】3(2017贵港中考)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PAPD，O是PAD的外接圆(1)求证：AB是O的切线；(2)若AC8，tanBAC，求O的半
11、径解：(1)连结OA，OP，OP交AD于点E.PAPD，PADPDA.OPAD，DAPAPE90.OAOP，OAPOPA.四边形ABCD为菱形，DAFFAB，PABAPO90，OAPPAB90，AB是O的切线；(2)连结BD，交AC于点F.四边形ABCD为菱形，DB与AC互相垂直平分AC8，tanBAC，AF4.tanDAC，DF2，AD2，AE.在RtPAE中，tanDAC，PE.设O的半径为R，则OER，OAR，在RtOAE中，OA2OE2AE2，R2(R)2()2，R，即O的半径为.【解题心得】圆与函数的结合【例4】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y(x0)图象上任
12、意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A，B.(1)求证：线段AB为P的直径；(2)求AOB的面积；(3)如图，Q是反比例函数y (x0)图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C，D. 求证：DOOCBOOA.【解析】(1)AOB90，由圆周角定理的推论，可以证明AB是P的直径；(2)将AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；(3)对于反比例函数上另外一点Q, Q与坐标轴所形成的COD的面积依然不变，与AOB的面积相等【答案】解：(1)AOB90，且AOB是P中弦AB所对的圆周角，AB是P的直径；(2)设点P坐标为(m，n)(m0，
13、n0)，点P是反比例函数y (x0)图象上一点，mn12.如答图，过点P作PMx轴于点M，PNy轴于点N，则OMm，ONn.由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，OA2OM2m，OB2ON2n，SAOBBOOA2n2m2mn21224；(3)以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C，D，COD90，DC是Q的直径若点Q为反比例函数y (x0)图象上异于点P的另一点，参照(2)，同理可得：SCODDOCO24，则有：SCODSAOB24，即BOOADOCO，DOOCBOOA.【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大，试题的核心是考查反比例函数
14、系数的几何意义对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4|k|；对于另外一点Q所形成的Q，此结论依然成立【针对练习】4(2017云南中考)已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是O的切线；(2)设OPAC，求CPO的正弦值；(3)设AC9，AB15，求df的取值范围解：(1)连结OC，OAOC，OACOCA.ACOP，OACBOP，ACOCOP，COPBOP.AB是O的直径，PB是O的切线，OBP90；在OCP和OBP中，OCPOBP(SAS)，OCPOBP，PB切O于点B，OBP90，OCP90.OCPC，且OC为半径，PC是O的切线；(2)过点O作ODAC于点D.OPAC，设OP3k，AC2k，CDACk.ODCPCO90，DCOCOP，CDOOCP.，OC2CDOPk3k3k2，OCk.sinCPO；(3)过点A作AEMC于点E，并延长交O于点K，则AEd.过点B作BFMC于点F，则BFf.连结BK，则四边形EKBF是矩形，EKBF，dfAEBFAEEKAK，ACAKAB，9df15.【解题心得】
