1、第3讲基本不等式, 学生用书P115)1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等
2、号成立的条件一致2活用几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号且都不为0)；ab(a，bR)；(a，bR)3巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件1. 将正数m分成两个正数a与b之和，则ab的范围为()A(0，B(0，C，) D，)B解析 abm2，所以ab，故选B.2. 函数f(x)x的值域为()A2，2 B2，)C(，22，) DRC解析 当x0时，x22.当x0.x22.所以x2.所以f(x)x的值域为(，22，)故选C.3. 用长为a(a0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为()
3、A BC DD解析 设折成的矩形的两边分别为x，y(x0，y0)则xy.因为xy2，所以xy(xy)2，即S矩形.当且仅当xy时，(S矩形)max.故选D.4若x1，则x的最小值为_解析 xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案 55若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析 因为xy1，所以y，所以x22y2x22 2.即x22y2的最小值为2.答案 2利用基本不等式求最值(高频考点)学生用书P115利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)求参数
4、的值或范围典例引领(1)(2017安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A7B8C9 D10(2)(2017安徽安庆二模)已知a0，b0，ab，则的最小值为()A4 B2C8 D16【解析】(1)因为a，b都是正数，所以5529，当且仅当b2a0时取等号故选C.(2)由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立故选B.【答案】(1)C(2)B 题点通关 角度一知和求积的最值1若实数a，b满足，则ab的最小值为()AB2C2 D4C解析 由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2. 角度二知积求和的最值2已知函数yax32(
5、a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线1上，且m，n0，则3mn的最小值为_解析 易知函数yax32(a0，a1)恒过定点(3，1)，所以A(3，1)又因为点A在直线1上，所以1.所以3mn(3mn)10102 16，当且仅当mn时，等号成立，所以3mn的最小值为16.答案 16 角度三求参数的值或范围3已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_解析 (xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立所以a4.答案 4利用基本不等式解决实际问题学生用书P116典例引领小王大学毕业后，决定利用所学
6、专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0x8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335
7、.所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29.此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9万元，当x8时，L(x)35352 352015，此时，当且仅当x，即x10时，L(x)取得最大值15万元因为90，y0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x0，y0，所以xy(xy)332(当且仅当yx时取等号)，所以当x1，y2时，(xy)min32.(2)因为x0，所以y12x1(2x)()1212，当且仅当x时取等号，故y的最小值为12.【答案】(1)32(2)12(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件，如本例(2)易忽视条件x0而误用基本不等式得2x2.(2)尽量避免多
8、次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致当3x12时，函数y的最大值为_解析 y152153.当且仅当x，即x6时，ymax3.答案 3, 学生用书P269(独立成册)1(2017海口调研)已知a，b(0，)，且ab1，则ab的最大值为()A1BC DB解析 因为a，b(0，)，所以1ab2，所以ab，当且仅当ab时等号成立2已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4C解析 因为x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab等于()A3 B2C3 D8C解析 yx4x15，因为x1，所以x10，0.所以由基本不等式，得yx15
9、251，当且仅当x1，即(x1)29，即x13，x2时取等号，所以a2，b1，ab3.5已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为()A2 B4C6 D8C解析 由已知得x3y9xy，又因为x0，y0，所以x3y2，所以3xy，当且仅当x3y时，即x3，y1时取等号，(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，则t0且t212t1080，得t6即x3y6.6某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D12
10、0件B解析 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时取等号7(2017郑州检测)已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_解析 由a2b3得ab1，所以2.当且仅当a2b时取等号答案 8已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_解析 f(x)4x24，当且仅当4x，即a4x2时取等号，则由题意知a43236.答案 369正实数x，y满足x2y2，则3x9y的最小值是_解析 利用基本不等式可得3x9y3x32y22.因为x2y2，所以3x9y26，当且仅当3x32y，即x1，y时取等号答案 610不等式x2x对任意a，
11、b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是_解析 根据题意，由于不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2x，因为2 2，当且仅当ab时等号成立，所以x2x2，求解此一元二次不等式可知2x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解 (1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.12(2017东北育才学校模拟)设(1，2)，(a，1)，(b，0)(a0，b0，O为坐标原点)，若
12、A，B，C三点共线，则的最小值是()A4 BC8 D9D解析 因为(a1，1)，(b1，2)，若A，B，C三点共线，则有，所以(a1)21(b1)0，所以2ab1，又a0，b0，所以(2ab)5529，当且仅当即ab时等号成立13已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解 (1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0，y0，所以.当
13、且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.14(2017常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解 (1)由题设，得S(x8)2x916，x(8，450)(2)因为8x450，所以2x2240.当且仅当x60时等号成立，从而S676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
