1、考点十五 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 第一部分 刷考点A卷 一、选择题1(2019陕西宝鸡中学二模)若直线 x(1m)y20 与直线 mx2y40 平行，则 m 的值是()A1B2C1 或2D32答案 A解析 当 m1 时，两直线分别为 x20 和 x2y40，此时两直线相交，不符合题意当 m1 时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得11mm2，21m2，解得 m1，故选 A.2(2019湖北黄冈调研)过点 A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为()Ayx1Byx3C2xy0 或 xy3D2xy0 或xy1答案 C解析 当直线过原点时，方程为 y2x，即 2xy0；当直线
2、不过原点时，设直线的方程为 xyk，把点(1,2)代入直线的方程可得 k3，故直线方程是 xy30.综上可得所求的直线方程为 2xy0 或 xy30，故选 C.3(2019东北三省三校第二次模拟)圆 x24xy20 与圆 x2y24x30 的公切线共有()A1 条B2 条C3 条D4 条答案 D解析 x24xy20(x2)2y222，圆心坐标为(2,0)，半径为 2；x2y24x30(x2)2y212，圆心坐标为(2,0)，半径为 1.两圆圆心距为 4，两圆半径和为 3，因为 43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条，故选 D.4(2019河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的
3、莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为 5 m，跨径为 12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A2512 mB256 mC95 mD185 m答案 D解析 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为 y 轴建立直角坐标系 xOy，结合题意可知，该抛物线 x22py(p0)经过点(6，5)，则 3610p，解得p185，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 p185，故选 D.5已知双曲线x2a y22a21 的离心率为 2，则 a 的值为()A1B2C1 或2D1答案 C解析 当焦点在 x 轴上时，a0,2a20，e2a2a2a2，解得 a1
4、，当焦点在 y 轴上时，a0，2a20)上的点 A(x0，2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于()A12B1C32D2答案 D解析 由题意 3x0 x0p2，x0p4，则p22 2，p0，p2.8已知椭圆 C：x24y21 与动直线 l：2mx2y2m10(mR)，则直线 l 与椭圆 C 交点的个数为()A0B1C2D不确定答案 C解析 由题 2mx2y2m10，即 m(2x2)12y0 可知直线 l 过定点1，12，将1，12 代入x24y2，得141412b0)，由题意得2a4，2b2a 1，解得 a2，b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.12过抛物线 y
5、24x 的焦点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24x4 3y0 截得的弦长是_答案 37解析 依题意，抛物线的焦点坐标是(1,0)，相应的直线方程是 y 3(x1)，即 3xy 30.题中的圆(x2)2(y2 3)216 的圆心坐标是(2，2 3)、半径为 4，则圆心(2，2 3)到直线 3xy 30 的距离 d|322 3 3|23 32，因此所求的弦长为 2 163 322 37.三、解答题13过原点 O 作圆 x2y28x0 的弦 OA.(1)求弦 OA 的中点 M 的轨迹方程；(2)延长 OA 到 N，使|OA|AN|，求点 N 的轨迹方程解(1)设 M 的坐标为(x，y)，则 A(
6、2x,2y)，因为点 A 在圆 x2y28x0 上，所以(2x)2(2y)216x0，即 x2y24x0.因此点 M 的轨迹方程为 x2y24x0.(2)设 N(x，y)，|OA|AN|，A 为线段 ON 的中点，A12x，12y，又 A 在圆 x2y28x0 上，12x 212y 24x0，即 x2y216x0.因此，点 N 的轨迹方程为 x2y216x0.14(2019安徽合肥第二次质检)已知点 A(1,0)和动点 B，以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O：x2y24.(1)求动点 B 的轨迹方程；(2)已知点 P(2,0)，Q(2，1)，经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于M，
7、N 两点，求证：直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值.解(1)如图，设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C，取 A(1，0)依题意，圆 C 内切于圆 O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线，O 为 AA的中点，C 为 AB 的中点，|AB|2|OC|.|BA|BA|2|OC|2|AC|2|OC|2|CD|2|OD|4|AA|2，动点 B 的轨迹是以 A，A为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设其方程为x2a2y2b21(ab0)，则 2a4,2c2，a2，c1，b2a2c23，动点 B 的轨迹方程为x24y231.(2)证明：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x2，此时直线
8、 l与椭圆x24y231 相切，与题意不符当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k(x2)由y1kx2，x24y231，消去 y 整理得(4k23)x2(16k28k)x16k216k80.直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，(16k28k)24(4k23)(16k216k8)0，解得 k0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与双曲线 C 交于 M，N 两点，其中 M 在左支上，N在右支上若F2MNF2NM，则|MN|()A8 2B8C4 2D4答案 A解析 由F2MNF2NM 可知|F2M|F2N|.由又|MF2|MF1|4 2，|NF1|NF2|4 2，所以|N
9、F1|MF1|MN|8 2，故选 A.5抛物线 C：y24x 的焦点为 F，N 为准线上一点，M 为 y 轴上一点，MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为()A 22B 2C3 22D3 2答案 C解析 如图所示，不妨设点 N 在第二象限，连接 EN，易知 F(1,0)，因为MNF 为直角，点 E 为线段 MF 的中点，所以|EM|EF|EN|，又 E 在抛物线 C 上，所以 EN准线 x1，E12，2，所以 N(1，2)，M(0，2 2)，所以|NF|6，|NM|3，所以MNF 的面积为3 22.6抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为3的直线
10、与抛物线相交于 A，B 两点，若|AB|8，则抛物线的方程为()Ay23xBy24xCy26xDy28x答案 C解析 抛物线 y22px(p0)的焦点为 Fp2，0，过点 F 且倾斜角为3的直线方程为 y 3xp2，联立直线与抛物线的方程，得y 3xp2，y22px3x25px34p20，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xAxB5p3.所以|AB|xAxBp8p3 8，所以 p3，所以抛物线的方程为 y26x.7(2019山东四校联合考试)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，MF1F2 的内心为 I，直线 MI
11、交 x 轴于点 E，若|MI|IE|2，则椭圆 C 的离心率是()A 22B12C 32D13答案 B解析 MF1F2 的内心为 I，连接 F1I 和 F2I，则 F1I 为MF1F2 的平分线，即|MF1|F1E|MI|IE|，同理，|MF2|F2E|MI|IE|，所以|MF1|F1E|MF2|F2E|MI|IE|2，即|MF1|F1E|MF2|EF2|MF1|MF2|F1E|EF2|2a2c2，则 e12，故选 B.8(2019广西桂林、崇左二模)过双曲线 x2y231 的右支上一点 P 分别向圆 C1：(x2)2y24 和圆 C2：(x2)2y21 作切线，切点分别为 M，N，则|PM|
12、2|PN|2 的最小值为()A5B4C3D2答案 A解析 圆 C1：(x2)2y24 的圆心为(2,0)，半径为 r12，圆 C2：(x2)2y21 的圆心为(2,0)，半径为 r21，设双曲线 x2y231 的左、右焦点为 F1(2，0)，F2(2,0)，连接 PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2(|PF1|2r21)(|PF2|2r22)(|PF1|24)(|PF2|21)|PF1|2|PF2|23(|PF1|PF2|)(|PF1|PF2|)3 2a(|PF1|PF2|)3 2(|PF1|PF2|)322c32435.当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，故选 A.二、填
13、空题9两条渐近线所成的锐角为 60，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为_答案 x2y231 或3y27 x271解析 因为两条渐近线所成的锐角为 60，所以一条渐近线的倾斜角为30或 60，斜率为 33 或 3，方程为 x 3y0 或 3xy0.设双曲线的标准方程为 x23y2(0)或 3x2y2(0)，将点(2，3)代入可求得 7，3.所以双曲线的标准方程为 x2y231 或3y27 x271.10(2019河北邯郸一模)若圆 C：x2y 12m2n 的圆心为椭圆 M：x2my21 的一个焦点，且圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 的标准方程为_答案 x2(y1)24解析 由题意得
14、，椭圆 M：x2y21m1(m0)的一个焦点坐标为0，12m，另一个焦点0，12m 在圆 C 上，所以1m112m2，0212m 12m2n，解得 m12，n4，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1)24.11若圆 x2y24x4y0 上至少有三个不同的点到直线 l：ykx 的距离为 2，则直线 l 的斜率的取值范围是_答案 2 3，2 3解析 圆的方程可化为(x2)2(y2)28，其圆心为(2,2)，半径为 2 2，当圆心(2,2)到直线 kxy0 的距离为 2时，有|2k2|k212 2，整理得 k24k10，解得 k2 3，结合图形可知(图略)，为使圆 x2y24x4y0 上至少有三个不
15、同的点到直线 l 的距离为 2，需有 k2 3，2 312如图，F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过F1 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 A，B 两点若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为_答案 13解析 据题意设|AB|3x，|BF2|4x，|AF2|5x，故有 ABBF2，又根据双曲线定义，得5x|AF1|2a，3x|AF1|4x2a，解得 xa，|AF1|3a，故有|F1B|6a，|BF2|4a，|F1F2|2c，由勾股定理可得 36a216a24c2，所以 eca 13.三、解答题13在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y
16、2b21(ab0)的离心率为12，点P1，32 在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率存在，纵截距为2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若直线 AP，BP 的斜率均存在，求证：直线 AP，OP，BP 的斜率依次成等差数列解(1)由ca12，1a2 94b21 及 a2b2c2，得 a2，b 3，c1，C：x24y231.(2)证明：设 l：ykx2，代入椭圆 C 的方程，知(34k2)x216kx40.0，k214.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 16k34k2，x1x2434k2，kAPkBPy132x11y232x21kx172 x21kx2
17、72 x11x11x212kx1x2k72 x1x27x1x2x1x218k16kk72 734k2416k34k212k248k214k216k7 3.kAPkBP2kOP，直线 AP，OP，BP 的斜率依次成等差数列14(2019湖北武汉高三阶段测试)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为F，x 轴上方的点 M(2，m)在抛物线上，且|MF|52，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点(点 A，B 与 M 不重合)，设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2.(1)求抛物线的方程；(2)当 k1k22 时，求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标 解(1)由抛物线的定义可知|MF|p2
18、(2)52，p1，抛物线的方程为 y22x.(2)证明：由(1)可知，点 M 的坐标为(2,2)，当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l：xt，则可取 A(t，2t)，B(t，2t)，k1k2 2t2t2 2t2t22，得 t0，故 A，B 重合，舍去 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 l 与抛物线方程联立得ykxb，y22x，整理得 k2x2(2kb2)xb20，(2kb2)24k2b28kb40，x1x22kb2k2，x1x2b2k2，又 k1k2y12x12y22x222，即(kx1b2)(x22)(kx2b2)(x12)2(x12)(x22)，2kx1x22k(x1x2)b(x1x2)2(x1x2)4b82x1x24(x1x2)8.将代入得，b2b22k(b1)0，即(b1)(b22k)0，得 b1 或 b22k.当 b1 时，直线 l 为 ykx1，此时直线恒过(0，1)；当 b22k 时，直线 l 为 ykx2k2k(x2)2，此时直线恒过(2,2)(舍去)直线 l 恒过定点(0，1)本课结束
