1、20052006年高三数学模拟测试卷(一)(2005.9)一选择题(每小题5分,共50分).1.将容量为100的样本按从小到大的顺序分成8个组,如下表:组号12345678频数101314141513129第三组的频率和累积频率为()A0.14和0.37;B.;C.0.03和0.06;D.。2.设离散型随机变量的概率分布为:10123P则下列各式中成立的是()A. P()0;B.P(-1)1CP(3 ) 1. D P( 0 ) =0.3.设随机变量的概率分布列为P()PK(1P)1-K(K0、1)则的值分别为()A. 0和1;B.P2和P; C.P和1-P;.D.P和(1-P)P.4.的概率密
2、度函数f(x)= ,下列错误的是()A. P()P();B.Cf(x)的渐近线是0;D. 5.且,则()A0.1;B0.2;C0.3;D0.4。6已知的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知定点A、B且|AB|=4,动点P满足|PA|PB|=3,则|PA|的最小值是( )ABCD58从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( )A300种B240种 C144种D96种9、设函数若( )(A) (B) (C) (D)10.设集合B=,那么点P
3、(2,3)()的充要条件是( )ABCD二填空题(每小题5分,共20分)11.已知随机变量的分布列为(K1,2,310)则a的值为。12某种产品废品率为P,从一大批这种产品中任取4个,已知至少有1个废品的概率为1-0.94,则P。-101PK13.已知随机变量的分布列如图:且设,则。14已知函数,则方程的解_三解答题15. (12分)某年级一次数学测验成绩近似地服从正态分布N(70,100),如果规定低于60分为不及格,不低于85分为优秀,那么:(1)成绩不及格的学生约占多少?(2)成绩优秀的学生又约占多少?注:16 (14分)已知是两个不共线的向量,且(1) 求证:(2)若,求的值17(12
4、分)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)(2n)=2n135(2n-1). (n)18(本小题满分14分)已知:甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1) 取得的4个元件均为正品的概率; (2)取得正品元件个数的数学期望.19(本小题满分14分)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方
5、案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.)20.(14分)设是否存在关于n的整式g(n),使得等式 g(n)(an-1)对于大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论(请把所有答案写在答题卷上,否则不给分!)20052006学年度数学模拟测试(一)参考答案一选择题(每小题5分,共50分)题号123456578910答案AADCABCBDA二填空题(每小题4分,共20分)11 12. 0.1 . 13. .14. 1 .15(12分)解(1)依题意得求得分少于60分的学生比例F(60)F(60)=即约占
6、15.87. (6分)(2)不低于85分学生所占的比例为:1-F(85)=1-即约占6.68. (12分)16 (14分)解:(1)|=,|=1()()=|2 |2=11=0与垂直。 (5分)(1) 由得 (8分)又,.(14分)17(12分)证明:(1)当n=1时,左边=2。右边=21=2,显然等式成立(3分)(2)假设n=k时等式成立,即(k+1)(k+2)(2k)=2k1357(2k-1) (5分)那么(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(2k)(2k+1)=22k135(2k-1)(2k+1)=2k+11352(k+1)-1这就是说,当n=k+1
7、时等式成立。综合(1)(2)可得,对任意n等式都成立。 (12分)18(14分)解(1)甲、乙两个盒子都取得两个正品的事件是相互独立的且P1= .P2=取得4个元件都为正品的概率为:P=P1P2= (5分)(2).的可能取值为:0、1、2、3、4. 且P(=0)= .P(=1)=P(=2)=P(=3)= P(=4)= 的分布列为01234PE=0+1+2+3+4= (14分)19.(14分).解:不采取预防措施时,总费用即损失期望为4000.3=120(万元);若单独采取措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为10.9=0.1,损失期望值为4000.1=40(万元),所以总费用为
8、45+40=85(万元)若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件的概率为10.85=0.15,损失期望值为4000.15=60(万元),所以总费用为30+60=90(万元);若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为45+30=75(万元),发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)=0.015,损失期望值为4000.015=6(万元),所以总费用为75+6=81(万元).综合、,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用最少.20(14分)解:假设g(n)存在。 (1分)当n=2时,a1=g(2)(a2-1).即:1=g(2)(1+-1).得g
9、(2)=2. (3分)当n=3时,a1+a2=g(3)(a3-1),即1+1+=g(3)(1+).得g(3)=3. ( 5分)同理g(4)=4.由此猜想:g(n)=n() 即a1+a2+an-1=n(an-1)对一切都成立 ( 7分)下面用数学归纳法证明之:(2) 当n=2时,a1=1,2(a2-1)=2(1+)=1.等式成立。 (8分)(3) 假设当n=k()时等式成立,即:a1+a2+ak-1=k(ak-1)那么a1+a2+ak-1+ak= k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1(ak+-1)=(k+1)(ak+1-1)即n=k+1时,等式也成立. ( 12分)根据(1)(2)可知,对,存在g(n)=n,使等式成立 ( 14分)即a1+a2+an-1=n(an-1)对一切成立。