1、-1-3.1.2 用二分法求方程的近似解-2-3.1.2 用二分法求方程的近似解 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 学习目标 思维脉络 1.理解二分法的步骤与思想.2.能够借助计算器用二分法求方程的近似解或求函数零点的近似值.-3-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 一、二分法的概念对于在区间a,b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(
2、x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.-4-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 名师点拨1.二分法就是通过不断地将所选区间(a,b)一分为二,逐步地逼近零点的方法,即找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.2.能用二分法求零点的函数必须具备两个条件:(1)图象连续;(2)零点左右两边的函数值异号.-5-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOX
3、UE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 做一做 1下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B 中,不满足 f(a)f(b)0,不能用二分法求零点,由于选项 A,C,D 中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求零点.答案:B-6-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 二、用二分法求函数 f(x)的零点近似值的
4、步骤1.确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0,给定精确度;2.求区间(a,b)的中点 c;3.计算 f(c):若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;若 f(a)f(c)0,则令 b=c此时零点 x0(a,c);若 f(c)f(b)0,则令 a=c此时零点 x0(c,b).4.判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点的近似值为 a(或 b);否则重复 24.-7-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 判一判正确的画“”,错误的画“”.(1)函数 y=f(
5、x)的零点就是其图象与 x 轴的交点.()(2)若函数 y=f(x)的图象在a,b上连续且单调,f(a)f(b)0,则方程 f(x)=0在(a,b)内有唯一的一个实数根.()(3)所有函数的零点都可以用二分法来求.()答案:(1)(2)(3)-8-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 做一做 2若函数 f(x)=log3x+x-3 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:f(2)-0.369 1 f(2.5)0.334 0f(2.25)-0.011 9
6、f(2.375)0.162 4f(2.312 5)0.075 6f(2.281 25)0.031 9 那么方程 x-3+log3x=0 的一个近似根(精确度 0.1)为()A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4-9-3.1.2 用二分法求方程的近似解 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 一 二 解析:由参考数据可知 f(2.25)f(2.312 5)0,且|2.312 5-2.25|=0.062 50.1,所以当精确度为 0.1 时,可以将 x=2.3 作为函数 f(x)=log3x+x-3 零点的近似值
7、,也即为方程 x-3+log3x=0 根的近似值.答案:C-10-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一二分法的概念判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.-11-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG
8、 JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 1用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时,不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3D.x4思路分析:逐一分析每个零点附近左、右两侧函数值的符号,看是否存在区间a,b满足 f(a)f(b)0.-12-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解析:由二分法的思想可知,零点 x1,x2,x4 左右两侧的函数值符号相反,即存在区间a,b,使得 f(a)f(b)0,故 x1,x2
9、,x4 可以用二分法求解,但 x3a,b时均有 f(a)f(b)0,故不可以用二分法求该零点.答案:C-13-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 1下列函数中不能用二分法求其零点的是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=ln x解析:结合函数 f(x)=|x|的图象可知,该函数在 x=0 的左右两侧函数值的符号均为正,故其不能用二分法求其零点.答案:C-14-3.1.2 用二分法求方程的近似
10、解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二求方程的近似解函数的零点就是对应方程的解,所以二分法不仅可以求函数的零点,也可以求方程的近似解.用二分法求方程的近似解,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小,其次要依据给定的精确度及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到要求(达到给定的精确度),以决定是停止计算还是继续计算.-15-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学
11、 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 2求方程 lg x=2-x 的近似解(精确度 0.1).思路分析:在同一平面直角坐标系中,画出 y=lg x 和 y=2-x 的图象,确定方程的解所在的大致区间,再用二分法求解.解:在同一平面直角坐标系中,作出 y=lg x,y=2-x 的图象如图所示,可以发现方程 lg x=2-x 有唯一解,记为 x0,并且解在区间(1,2)内.设 f(x)=lg x+x-2,则 f(x)的零点为 x0.-16-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知
12、导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 用计算器计算,得 f(1)0 x0(1,2);f(1.5)0 x0(1.5,2);f(1.75)0 x0(1.75,2);f(1.75)0 x0(1.75,1.875);f(1.75)0 x0(1.75,1.812 5).|1.812 5-1.75|=0.062 50.1,方程的近似解可取为 1.812 5.-17-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结利用
13、二分法求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),nZ;(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间 M;(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间 M 的一个端点.-18-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 2用二分法求 2x+x=4 在1,2内的近似解(精确度0.2).参考数据:x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.8
14、75 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 -19-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解:令 f(x)=2x+x-4,则 f(1)=2+1-40.区间 区间中点值 xn f(xn)的值及符号(1,2)x1=1.5 f(x1)=0.330(1,1.5)x2=1.25 f(x2)=-0.370(1.25,1.5)x3=1.375 f(x3)=-0.0350(1.375,1.5)|1.375-1.5|=0.
15、1250.2,2x+x=4 在(1,2)内的近似解可取为 1.375.-20-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三用二分法求函数的零点用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则:(1)依据图象估计零点所在的初始区间m,n(一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数 c,计算 f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.-21-3.1.
16、2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 3用二分法求函数 f(x)=x3-x-1 在区间1,1.5内的一个零点(精确度 0.01).思路分析:确定 f(1)与 f(1.5)的符号按二分法求零点的步骤求解解:经计算,f(1)0,所以函数在区间1,1.5内存在零点 x0.取区间(1,1.5)的中点 x1=1.25,经计算 f(1.25)0.因为 f(1.5)f(1.25)0,所以 x0(1.25,1.5).-22-3.1.2 用二分法求方程的近似
17、解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 如此继续下去,得到函数的一个零点所在的区间,如下表:区间 区间中点 f(a)f(b)区间中间值符号(1,1.5)1.25 f(1)0 f(1.25)0(1.25,1.5)1.375 f(1.25)0 f(1.37 5)0(1.25,1.375)1.312 5 f(1.25)0 f(1.312 5)0(1.312 5,1.375)1.34375 f(1.3125)0 f(1.343 75)0(1.312 5,1.343 75)1.3281
18、25 f(1.3125)0 f(1.328 125)0(1.312 5,1.328 125)1.320312 5 f(1.3125)0 f(1.320 3125)0(1.320 312 5,1.328 125)因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 50,f(2)=12-ln 20,所以 x0 32,2,区间长度 2-32=0.50.2;-24-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 分第二次,因为 f 74 0
19、,所以 x0 74,2,区间长度 2-74=0.250.2;分第三次,因为 f 158 0,所以 x0 74,158 ,区间长度 74-158 =180.2.故最多分三次可以使 x0 的近似值达到精确度 0.2.答案:A-25-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四思想方法函数与方程的思想在二分法中的应用典例提升 4求 23的近似值(精确度 0.01).思路分析:设 x=23 23就是方程 x3-2=0 的根 23就是函数 y=x3-2
20、的零点-26-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解:设 x=23,则 x3-2=0,令 f(x)=x3-2,则函数 f(x)的零点的近似值就是 23的近似值.以下用二分法求其零点的近似值.由于 f(1)=-10,故可以取区间1,2为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:-27-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测
21、 探究一 探究二 探究三 探究四 区间 中点 中点函数值(1,2)1.5 f(1.5)=1.375(1,1.5)1.25 f(1.25)-0.046 9(1.25,1.5)1.375 f(1.375)0.599 6(1.25,1.375)1.312 5 f(1.312 5)0.261 0 -28-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四(1.25,1.312 5)1.281 25 f(1.281 25)0.103 3(1.25,1.281 25)
22、1.265 625 f(1.265 625)0.027 3(1.25,1.265 625)1.257 812 5 f(1.257 812 5)-0.010 0(1.257 812 5,1.265 625)由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度 1.265 625-1.257 812 5=0.007812 50.01,所以 23的近似值可以取 1.265 625.-29-3.1.2 用二分法求方程的近似解 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 反思1.求根式
23、的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的零点,通过二分法求解.2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于精确度.-30-3.1.2 用二分法求方程的近似解 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 123451.已知函数 f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3解析:由题图知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点,因此零点个数为 4,从左往右数第4 个交点两侧不满足 f(a)f(b)0,因此不能用
24、二分法求零点,而其余 3 个均可使用二分法求零点.故选 D.答案:D-31-3.1.2 用二分法求方程的近似解 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 123452.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间为()A.-2,1B.-1,0C.0,1D.1,2解析:由 f(-2)f(1)0 知初始区间可以取-2,1.答案:A-32-3.1.2 用二分法求方程的近似解 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1234
25、53.用二分法求方程 f(x)=0 在区间0,1上的近似解时,经计算,f(0.425)0,f(0.605)0,即得到方程的一个近似解为 .(精确度 0.1)解析:0.605-0.532=0.0730.1,0.532,0.605内的值都可以作为方程精确度为 0.1 的一个近似解.答案:0.532(答案不唯一)-33-3.1.2 用二分法求方程的近似解 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 123454.已知函数 f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)f(2)0,用二分法逐次计算时,若 x0 是1,2的中点,则
26、 f(x0)=.解析:由题意知 f(x0)=f 1+22 =f(1.5),代入解析式计算得 0.625.答案:0.625-34-3.1.2 用二分法求方程的近似解 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 123455.在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请你用二分法的思想找到这枚假币.解:第一次,在天平的两端各放入 13 枚金币称重,选出较轻一端的 13 枚,继续称;第二次,两端各放 6 枚,若平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的 6枚继续称;第三次,两端各放 3 枚,选出较轻的 3 枚继续称;第四次,两端各放 1枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的一枚是假币.
