1、第5讲 数列求和 知 识 梳 理 1.基本数列的前项和 等差数列的前项和： 等比数列的前项和：当时，；当时，； 基本数列的前项和：.2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前项之和的方法；2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前项之和. 3.重难点：灵活选择数列求和的方法，注意裂项相消法求和中项数及项的处理.抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.问题1：已知为等比数列的前项和，公比，则 ；等差数列中，公差，且，则 .分析：利用（或转化为）等差、数列等比前项和公式是最
2、基本的方法；要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；把当作一个整体考虑.解析：，且， 裂项相消法求和中注意项数及项的处理.问题2：数列的前项和 分析：此数列的第项应为（注意不是？），裂项求和时注意项数.解析：此数列的第项，数列的前项和 热 点 考 点 题 型 探 析考点 已知数列的通项公式，求数列前n项之和题型1 公式法、性质法求和【例1】等比数列中的第5项到第10项的和为： 等差数列的前项和为18，前项为和28，则前项和为 【解题思路】可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，由成等比数列求解；利用等差数列的性质求解.【解析】利用等比数列前项和公式求解. 由，得，利用等差数列的
3、性质求解.是等差数列，为等差数列，三点共线.【名师指引】利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算.题型2 拆项分组法求和【例2】求数列的前项和.【解题思路】根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的.【解析】 .【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.题型3 裂项相消法求和【例3】求和：.【解题思路】观察通项公式的特点，发现.【解析】原式.【名师指引】数列的常见拆项有：；.题型4错位相减法求和【例4】若数列的通项，求此数列的前项和.【解题思路】利用等比数列前项和公式的推导方法求和，一般
4、可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.【解析】， -，得 .【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法. 题型5 倒序相加法求和【例5】设，求：；【解题思路】观察及的特点，发现.【解析】，.原式.【名师指引】通过分析对应的通项，可结合等差数列前项和的推导方法求解. 数列求和应该从通项入手； 数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.【新题导练】1.已知等比数列中，为的两个根，则 .【解析】由已知得，.2.设函数定义如下表，数列满足且，则 .x1234541352【解析】经
5、计算得，是一个以4为周期的周期数列，注意项数的处理.3.求数列的前项和.【解析】.4.求数列的前项和.【解析】 .5. 求和：； 求和：； 求和：.【解析】原式 . 原式 . .6.求数列的前项和.【解析】 得， -得，当时，；当时，.7.求和：【解析】， 则 +得，. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.数列中，则数列的前项的绝对值之和为( ) 【解析】C.，所求绝对值之和为2.的结果为( ) 【解析】C.用错位相减法3.在项数为的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是( ) 【解析】A.利用等差数列的性质4.数列中，若的前项和为，则项数为( ) 【解析】B. ，5.的结果为 .【解析】 ，用裂项相消法.6.数列中，则数列的前项和为 .【解析】 由，得，7.数列中，则数列的前项和为 .【解析】综合拔高训练8.设是数列的前项和，.求的通项；设，求数列的前项和.【解析】，时，整理得，数列是以为公差的等差数列，其首项为，；由知，9.(2009恩城中学)观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：求第六行的第一个数；求第20行的第一个数；求第20行的所有数的和【解析】解：第六行的第一个数为31；第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是，第20行的第一个数为381第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数，设第20行的所有数的和为，则.
