1、课时分层作业(二十五)二面角及其度量(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1已知平面内有一个以AB为直径的圆，PA，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则()AADE是二面角APCB的平面角BAED是二面角APBC的平面角CDAE是二面角BPAC的平面角DACB是二面角APCB的平面角B由二面角的定义及三垂线定理，知选B.2已知ABC和BCD均为边长为a的等边三角形，且ADa，则二面角ABCD的大小为()A30B45C60D90C如图取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AEBC，DEBC，且AEDEa，又ADa，AED60，即二面角ABCD的大小为6
2、0.3如图所示，在正四棱锥PABCD中，若PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为8，则侧面与底面所成的二面角为()A. B.C. D.D设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为，高为h，斜高为h，则，sin ，即.4已知二面角l中，平面的一个法向量为n1，平面的一个法向量为n2，则二面角l的大小为()A120 B150C30或150 D60或120C设所求二面角的大小为，则|cos |，所以30或150.5如图所示，P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()A60 B70 C80 D90D不妨设PMa，P
3、Nb，作MEAB交AB于点E，NFAB交AB于点F(图略)，因为EPMFPN45，故PE，PF，于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为EM，FN分别是，内的两条与棱AB垂直的线段，所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角AB的大小为90.二、填空题6若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_60或120设二面角大小为，由题意可知cos ，所以60或120.7若P是ABC所在平面外一点，且PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，则二面角PBCA的大小为_90取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则POA就是
4、二面角PBCA的平面角又POAO，PA，所以POA90.8在空间四面体OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为_0()|cos|cos|(|)0.cos0.三、解答题9如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，平面ABCD是一个直角梯形，ABAD，AB，CD为梯形的两腰，且ABADAA1a.(1)若截面ACD1的面积为S，求点D到平面ACD1的距离；(2)当为何值时，平面AB1C平面AB1D1?解(1)由VDACD1VCADD1，过C作CEAD，垂足为E.AA1平面ABCD，平面ABCD平面AA1D1D，CE平面AA1D1D，CEa是C到平面ADD1的距离，
5、设点D到平面ACD1的距离为h，由Sha2a，得h.(2)分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A1(0,0,0)，A(0,0，a)，B1(a,0,0)，设C(a，b，a)，且n1(x，y，z)是平面AB1C的法向量，(a,0，a)，(a，b,0)则n10，n10，即axaz0，axby0，得zx，yx，取x1，则y，z1，则n1为平面AB1C的一个法向量同理可得平面AB1D1的一个法向量为n2(1,1,1)若平面AB1C平面AB1D1，则n1n20，2，即当2时，平面AB1C平面AB1D1.10如图所示，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形
6、且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD.又BCAD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知，得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1
7、，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则 (x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值为.能力提升练1如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A.B.C. D.D如图所示，连接BD，
8、ACBDO，连接OF.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD.所以B，F，C，D.结合图形可知，且为平面BDF的一个法向量，由，可求得平面BCF的一个法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.即二面角CBFD的正切值为.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为()A B.C. D.B建系如图，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)、A1(1,0,1)、E.(1,0,1)，.设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)则.令x1，则z1，y，n.又平
9、面ABCD的一个法向量为(0,0,1)cosn，.又平面A1ED与平面ABCD所成的二面角为锐角，平面A1ED与平面ABCD所成二面角的余弦值为.3已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于_底面对角线长为2，底面边长为2，从而利用体积得四棱锥的高为3，所求二面角的正切为.侧面与底面所成的二面角为.4已知正四棱锥的底面边长为2，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于_60如图，四棱锥PABCD为正四棱锥，连接AC，BD相交于点O，连接PO，则PO平面ABCD.作OECD，连接PE，则PEO即为侧面与底面所成二面角的平面角由题意知PO3，OE，tanPEO.PEO6
10、0.5.如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)法一：如图，取的中点H，连接EH，GH，CH.因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEACGC.取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以EMC为所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos 12012，所以EC2，所以EMC为等边三角形，故所求的角为60.法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.故所求的角为60.
