1、第一章能力检测一、选择题(每小题5分，共60分)1(2018年重庆模拟)f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a()A1B2C1D2【答案】A2曲线y在点(1,1)处的切线方程为()Axy20Bxy20Cx4y50Dx4y50【答案】B3(2019年山西长治模拟)函数f(x)x22mln x(m0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(1,2)上，f(x)0，f(x)为减函数，C对；在x2处取极小值，D错7(2019年福建厦门期末)函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A. B.C.
2、 D.【答案】f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即0，解得a. 故选D.8已知函数f(x)xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A1B1C1D不存在【答案】A【解析】因为f(x)xln x，所以f(x)ln x1，于是有x0ln x0ln x011，解得x01或x01(舍去)9(2017年山东)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，)B(0,13，)C(0，2，)D(0，3，)【答案】B【解析】当0m1时，1，y(mx
3、1)2在0,1上单调递减，且y(mx1)2(m1)2,1，ym在x0,1上单调递增，且ymm,1m，此时有且仅有一个交点；当m1时，01，y(mx1)2在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m1)21mm3.故选B10(2019年广东揭阳模拟)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是( )A4 B8 C9 D13【答案】D【解析】f(x)3x22ax，根据已知f(2)0，得a3，即f(x)x33x24.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在1,1上的最小值为f(0)4，f(n)3n26n在1,1上单调递增，所以f(n)的最小值为f(1
4、)9. f(m)f(n)minf(m)minf(n)min4913.11已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0且x00，则实数a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)【答案】C【解析】a0时，不符合题意a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x10，x2.若a0，则由图象知f(x)存在小于0的零点，不符合题意若a0，由图象结合f(0)10知，此时必有f0，即a310，化简得a24，又a0，所以a2.故选C12.(2019年陕西西安模拟)若函数f(x)axx2ln x存在极值，且这些极值的和不小于4ln 2，则a的取值范围为()A2，) B2，)
5、 C2，) D4，)【答案】C【解析】f(x)a2x.f(x)存在极值，f(x)0在(0，)上有根，即2x2ax10在(0，)上有根，a280.显然当0时，f(x)无极值，不合题意.a280，即a2或a0，则f(x1)，f(x2)为f(x)的极值，f(x1)f(x2)(ax1xln x1)(ax2xln x2)a(x1x2)(xx)(ln x1ln x2)ln24ln2，a2.综上，a的取值范围为2，).二、填空题(每小题5分，共20分)13(2019年山东枣庄校级月考)已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数若f(x)2f(x)，则tan x_.【答案】.【解析】由f
6、(x)sin xcos x，得f(x)cos xsin x.又由f(x)2f(x)，即sin xcos x2(cos xsin x)，变形可得cos x3sin x，即tan x.14(2017年江苏)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】因为f(x)x32xexf(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为f(x)3x22exex3x2220，所以函数f(x)在R上单调递增，又f(a1)f(2a2)0，即f(2a2)f(1a)，所以2a21a，即2a2a10，解得1a，故实数a的取值范围为.15(2019年重庆校级期末
7、)如图，由曲线yx2和直线yt2(0t1)，x1，x0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是_.【答案】.【解析】设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2.由S(t)2t(2t1)0，得t为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)minS.16设函数f(x)x3x22x5，若对任意x1,2有f(x)7.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根且f(x)2x2.(1)求yf(x)的解析式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)
8、，则f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2.所以f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，即x22xc0有两个相等实根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依题意，所求面积为S1(x22x1)dx.18(12分)(2018年黑龙江大庆一中期末)已知函数f(x)aln xbx2，a，bR，且曲线yf(x)在x1处与直线y相切(1)求a，b的值；(2)求f(x)在上的最大值解：(1)由f(x)aln xbx2，得f(x)2bx.由yf(x)在x1处与直线y相切，得解得(2)由(1)得f(x)ln xx2，定义域为(0，)，f(x)x.令f(x)0，解得0x1；令
9、f(x)1.f(x)在上单调递增，在(1，e)上单调递减f(x)在上的最大值为f(1).19(12分)(2019年江苏连云港期末)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)（1）若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm
10、)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x),0x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.20(12分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)0，得x1；令f(x)0，得x1.所以函数f(x)的递增区间是和(1，), 递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x1,2，由(1)知，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，f(1)c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，得c2.21(12分)(2019年湖北武汉模拟)
11、已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.（1）求a；（2）求证：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.解：（1）f(x)的定义域为(0，)设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.（2）证明：由（1）知f(x)x2xxln x，f (x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x时，h(x)0.所以h
12、(x)在上单调递减，在上单调递增又h(e2)0，h0；当x(x0,1)时，h(x)0.因为f (x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f (x0)0，得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0，得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)22.22(12分)(2017年新课标)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解：(1)f(x)(1x2)ex，f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.f(x)在(，
13、1)和(1，)单调递减，在(1，1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0(x0)，h(x)在0，)单调递减又h(0)1，h(x)1，f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a1时，设函数g(x)exx1，则g(x)ex10(x0)，g(x)在0，)单调递增又g(0)0，exx1.当0x1时，f(x)(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)(1x0)(1x0)2ax010，f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0,1)f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，)
