1、第4讲 三角恒等变换1考题展望三角函数是基本初等函数，是描述周期性现象的重要数学模型，在高考中，主要考查对三角函数概念的理解，运用三角函数公式进行三角恒等变换的能力掌握三角函数图象的基本特征和基本性质，并能灵活地进行图象变换，考查读图、识图和用图能力，同时与向量、解三角形和实际应用问题交汇，考查三角知识的工具性作用2高考真题考题 1(2015 江苏)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_【解析】3 将 化为()，利用两角差的正切公式求解 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 17（2）117（2）3.【命题立意】本题主要考查两角差的正切公式，考查转化思想与运算
2、求解能力考 题 2(2015 四 川)sin 15 sin 75 的 值 是_【解析】62.首先利用诱导公式化简，再运用两角和与差的三角公式进行求值 sin 15sin 75sin 15cos 15 2(22 sin 15 22 cos 15)2(sin 15cos 45cos 15sin 45)2sin 60 2 32 62.【命题立意】本题主要考查诱导公式及三角恒等变换，考查学生运算求解能力与推理论证能力考题 3(2015 福建)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)cos x 的图象经如下变换得到：先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图象
3、向右平移2 个单位长度(1)求函数 f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程(2)已知关于 x 的方程 f(x)g(x)m 在0，2)内有两个不同的解，.求实数 m 的取值范围；证明：cos()2m25 1.【解析】解法一：(1)将 g(x)cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y2cos x 的图象，再将 y2cos x 的图象向右平移2 个单位长度后得到 y2cos(x2)的图象，故 f(x)2sin x.从而函数 f(x)2sin x 图象的对称轴方程为 xk2(kZ)(2)f(x)g(x)2sin xcos x 5(25sin x 15cos x)5
4、sin(x)(其中 sin 15，cos 25)依题意，sin(x)m5在0，2)内有两个不同的解，当且仅当|m5|1，故 m 的取值范围是(5，5)因为，是方程 5sin(x)m 在0，2)内的两个不同的解，所以 sin()m5，sin()m5.当 1m 5时，2(2)，即 2()；当 5m1 时，2(32)，即 32()所以 cos()cos 2()2sin2()1 2(m5)212m25 1.解法二：(1)同解法一(2)同解法一 因为，是方程 5sin(x)m 在0，2)内的两个不同的解，所以 sin()m5，sin()m5.当 1m 5时，2(2)，即()；当 5m1 时，2(32)，
5、即 3()所以 cos()cos()于是 cos()cos()()cos()cos()sin()sin()cos2()sin()sin()1(m5)2(m5)2 2m25 1.【命题立意】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查识图能力、运算求解能力、推理论证能力及数形结合的思想1同角三角函数关系可实现函数名称的转化sin2 cos2 1，tan sin cos .2诱导公式及和、差、倍角的三角函数可实现角的形式的转化诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限和、差、倍角公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan()tan ta
6、n 1tan tan ，k 2，kZ；sin 2 2sin cos ；cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2；tan 2 2tan 1tan2；asin bcos a2b2sin()其中tan ba.3倍角公式及其变形公式可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化1给值(式)求角例1(1)已知锐角，满足 sin 55，cos 3 1010，则()A.4B.34C.4 或34D.2【解析】选 A.由已知 cos 1sin2 2 55，sin 1cos2 1010，【点评】给值求角时，注意角的范围所以 cos()cos cos sin sin 2 55 3
7、 1010 55 1010 22，又 0，所以 4，故选 A.【解析】由 2sin2A2 3cosA22，得 3cosA221sin2A2，即 3cosA22cos2A2，又 A(0，180)，则A2(0，90)，(2)已知 A(0，180)，且满足 2sin2A2 3cosA22.求角 A 的大小；求 sin(A10)1 3tan(A10)的值则 cosA20，故 cosA2 32.从而A230，故 A60.由sin(A10)1 3tan(A10)sin 70(1 3tan 50)sin 70cos 50 3sin 50cos 50 sin 70212cos 50 32 sin 50cos
8、50 2sin 70sin（3050）cos 50 2sin 20cos 20sin 401.【解析】选 A.cos32 cos3 2 cos23 12sin23 12 116 78，故选 A.2给值求值例2(1)若 sin3 14，则 cos3 2 的值为()A78B14C.14D.78【点评】在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把2 2 变换成 24 ，()()，2()()，2()()，22，22 2 等【解析】选 B.条件中的式子两边平方，得 4sin24sin cos cos252，即 3sin24sin c
9、os 32，所以 3sin24sin cos 32(sin2 cos2)，(2)已 知 R，2sin cos 102，则tan24()A.43B7C34D.17【点评】本小题为三角函数的常见题型，求解的关键是先“化同角”，然后“弦化切”，便可解决问题即 3tan2 8tan 30，解得 tan 3 或tan 13，所以 tan 2 2tan 1tan2 34，从而得tan24 7.【解析】选 B.tantan()tan（）tan 1tan（）tan 3tan 14tan23tan 4tan 34，当且仅当 tan 12时等号成立 3三角函数求值综合问题例3(1)已知，0，2，满足 tan()4
10、tan，则 tan 的最大值是()A.14B.34C.3 24D.32【点评】本题考查角度之间的变换思想，利用不等式求最值问题【解析】f(x)sin 2xsin2xcos2xsin 2xcos 2x 2sin2x4，由 x0，得 2x4 4，94，当 2x4 4，2 即 x0，8 时，f(x)递增；当 2x4 2，32即 x8，58时，f(x)递减；(2)已知函数 f(x)sin x(2cos xsin x)cos2x.讨论函数 f(x)在0，上的单调性；设4 2，且 f()5 213，求 sin 2 的值当 2x4 32，94 即 x58，时，f(x)递增 综上，函数 f(x)在区间0，8，
11、58，上递增，在区间8，58上递减 由 f()5 213，即 2sin24 5 213，得 sin24 513，因为4 2，所以34 24 54，可得 cos24 1213，则 sin 2sin24 4 22 sin24 22 cos24 22 513 22 1213 7 226.【解析】(1)因为 ab，所以 sin6 12cos 0，即 32 sin 12cos 12cos 0，即 32 sin 252 cos 0，备选题例4已知向量 asin 6，3，b(1，4cos )，(0，)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若 ab，求 的值又 cos 0，所以 tan 25 33.(2)若
12、 ab，则 4cos sin6 3，即 4cos 32 sin 12cos 3，所以 3sin 2cos 22，所以 sin26 1，因为(0，)，所以 26 6，136，所以 26 2，即 6.【点评】本小题考查向量垂直与平行坐标表示，两角和正弦公式，倍角公式1要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用如两角和与差的正切公式可变形为：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan )余弦二倍角公式有多种形式，即 cos 2 cos2sin2 2cos2 112sin2，变形公式 sin2 1cos 22，cos2 1co
13、s 22.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用2对于形如 asin bcos 的式子，都可通过合理的变形，借助两角和与差的三角函数公式的逆用，化为只含有一个三角函数的形式，即 asin bcos a2b2sin()其中tan ba，这个公式称为辅助角公式，它在解决三角函数问题中具有广泛的应用3三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等(1)要注意拆角、拼角技巧例如：2()()，()，2 2，2 22 等(2)注意倍角的相对性，如 是2的倍角，3 是32的倍角等(3)要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化，
14、要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件4三角函数恒等变换易错点(1)“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”没有运用整体思想造成繁解给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解“给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数
15、的单调区间求得角1已知 cos2 35，且 a2，32，则 tan()A.43B.34C34D34【解析】选 B.由 cos2 35得：sin 35 sin 350，又 2，32，所以0，0 ，xR)已知 x6 时，f(x)取得最小值2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若角 满足 2sin3 f()，且 00，所以 A2.因为 f6 2，所以 cos3 1，由 0可得3 3 43，所以3，所以 23.故 f(x)的解析式为 f(x)2cos2x23.(2)法一：由(1)，得 sin3 cos223，即 sin3 12sin23，2sin23 sin3 10，所以 sin3 1 或 sin
16、3 12.又 0，所以3 3 43.所以 sin3 12.法二：由(1)，得 sin3 cos223，即 cos6 cos223.所以 223 2k6 或 223 2k6，kZ.即 2k3 6 或 2k56，kZ.又 0，所以 2.所以 sin3 12.9已知向量 a(cos2 xsin2 x，sin x)，b(3，2cos x)，设函数 f(x)ab(xR)的图象关于直线 x2 对称，其中 为常数，且(0，1)(1)求函数 f(x)的表达式；(2)若将 yf(x)图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3 个单位，纵坐标不变，得到 yh(x)的图象，若关于 x 的方程 h(x)
17、k0 在区间0，2 上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围【解析】(1)f(x)ab(cos2xsin2x，sin x)(3，2cos x)3(cos2xsin2x)2sin xcos x 3cos 2xsin 2x2sin2x3.由直线 x2 是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 2sin3 2，所以3 k2(kZ)，即 k16(kZ)又(0，1)，kZ，所以 k0，故 16.所以 f(x)2sin13x3.(2)将 yf(x)图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3 个单位，纵坐标不变，得到 y2sin2x3 的图象 所以 h(x)2sin2x3.令 2x3 t，0 x2，3 t23.于是方程 h(x)k0在区间0，2 上有且只有一个实数解，即方程 2sin tk0 在 t3，23 上有且只有一个实数解，亦即 y2sin t，t3，23 的图象与 yk 有且只有一个交点，于是画出图象，分析可知：3k 3，或k2，即 3k 3，或 k2.
