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2019-2020学年人教B版数学必修五讲义:第2章 2-3 2-3-2 第1课时 等比数列的前N项和 WORD版含答案.doc

上传人:高**** 文档编号:428789 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:10 大小:456KB
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资源描述

1、2.3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2会用错位相减法求数列的和(难点)3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和公式的学习,考查学生的直观想象的素养2借助错位相减法求数列的和的方法,提升学生的数学运算素养.等比数列的前n项和公式思考:等比数列求和应注意什么?提示公比q是否等于1.1在公比为整数的等比数列an中,a1a23,a34,则an的前5项和为()A10BC11D12C设公比为q(qZ),则a1a2a1a1q3,a3a1q24,求解可得q2,a11,则an的前5项

2、和为11.2已知等比数列an的公比q2,前n项和为Sn,则()A3B4CDC易知等比数列an的首项为a1,则.3在等比数列an中,a12,S326,则公比q_.3或4S326,q2q120,q3或4.4等比数列an中,公比q2,S544,则a1_.4由S544,得a14.等比数列前n项和公式基本量的运算【例1】在等比数列an中(1)若q2,S41,求S8;(2)若a1a310,a4a6,求a4和S5.解(1)法一:设首项为a1,q2,S41,1,即a1,S817.法二:S41,且q2,S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q,由通项公式及已知条件得即a10,1q20,得,

3、q3,即q,a18.a4a1q3831,S5.1解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解2运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元1在等比数列an中,其前n项和为Sn.(1)S230,S3155,求Sn;(2)已知S41,S817,求an.解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)设an的公比为q,由S41,S817知q1,所以得,解得q2,所以或所以an或an.等比数列前n项和的综合应用【例2】借贷10

4、 000元,月利率为1%,每月以复利计息,王老师从借货后笫二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)?解法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1n6),则a010 000,a11.01a0a,a21.01a1a1.012a0(11.01)a,a61.01a5a1.016a0(11.011.015)a由题意,可知a60,即1.016a0(11.011.015)a0,a.因为1.0161.061,所以a1 739(元)故每月应支付1 739元法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同

5、的条件存储6个月,则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面,设每个月还货a元,分6个月还清,到货款还清时,其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa(1.0161)102(元)由S1S2,得a1 739(元)故每月应支付1 739元解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为SP(1r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的

6、80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗?解用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得an1an,因此,数列an是首项a125,公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为:Sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.错位相减法求和探究问题1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗?是等差数列吗?该数列的前n项和Sn的表达式是什么?提示由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列,也不是等比数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n.2在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数

7、列2n的公比后,该等式的变形形式是什么?认真观察两式的结构特征,你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗?提示在等式Sn121222323n2n,两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1,得:Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法【例3】设数列an的前n项和为Snn2n,数列bn的通项公式为bnxn1(x0)(1)求数列an的通项公式;(2)设cnanbn,数列cn的前n项和

8、为Tn,求Tn.思路探究由an完成第(1)问;由题设知an为等差数列,bn为等比数列,因此可用错位相减法求Tn.解(1)an即an当n1时,an2n也成立,an2n,即数列an的通项公式为an2n.(2)由an2n,bnxn1且cnanbn可得cn2nxn1,Tn24x6x28x32nxn1,则xTn2x4x26x38x42nxn.,得(1x)Tn22x2x22xn12nxn.当x1时,(1x)Tn22nxn,Tn.当x1时,Tn24682nn2n.错位相减法的适用范围及注意事项:(1)适用范围:它主要适用于an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和(2)注意事项:利用“错位相减

9、法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错对齐,以便于作差,正确写出(1q)Sn的表达式利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况3_.令Sn,则Sn,由得,Sn,得Sn2.1本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算2在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”3前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q1和q1时是不同的公式形式,不可忽略q1的情况1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则

10、其前n项和为Snna()(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0,q0且q1,nN),则此数列一定是等比数列()答案(1)(2)(3)2数列 2n1的前99项和为()A21001B12100C2991D1299C数列2n1为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S992991.3已知等比数列an中,q2,n5,Sn62,则a1_.2q2,n5,Sn62,62,即62,a12.4已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b11,b2,anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和解(1)由已知,a1b2b2b1,b11,b2,得a12.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn,得bn1,因此bn是首项为1,公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn,则Sn.

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