1、2.3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点)2会用错位相减法求数列的和(难点)3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和公式的学习，考查学生的直观想象的素养2借助错位相减法求数列的和的方法，提升学生的数学运算素养.等比数列的前n项和公式思考：等比数列求和应注意什么？提示公比q是否等于1.1在公比为整数的等比数列an中，a1a23，a34，则an的前5项和为()A10BC11D12C设公比为q(qZ)，则a1a2a1a1q3，a3a1q24，求解可得q2，a11，则an的前5项
2、和为11.2已知等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则()A3B4CDC易知等比数列an的首项为a1，则.3在等比数列an中，a12，S326，则公比q_.3或4S326，q2q120，q3或4.4等比数列an中，公比q2，S544，则a1_.4由S544，得a14.等比数列前n项和公式基本量的运算【例1】在等比数列an中(1)若q2，S41，求S8；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.解(1)法一：设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.法二：S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，
3、q3，即q，a18.a4a1q3831，S5.1解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解2运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元1在等比数列an中，其前n项和为Sn.(1)S230，S3155，求Sn；(2)已知S41，S817，求an.解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)设an的公比为q，由S41，S817知q1，所以得，解得q2，所以或所以an或an.等比数列前n项和的综合应用【例2】借贷10
4、 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借货后笫二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)?解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a0(11.011.015)a由题意，可知a60，即1.016a0(11.011.015)a0，a.因为1.0161.061，所以a1 739(元)故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同
5、的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还货a元，分6个月还清，到货款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa(1.0161)102(元)由S1S2，得a1 739(元)故每月应支付1 739元解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的
6、80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.错位相减法求和探究问题1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？提示由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n.2在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数
7、列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提示在等式Sn121222323n2n，两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法【例3】设数列an的前n项和为Snn2n，数列bn的通项公式为bnxn1(x0)(1)求数列an的通项公式；(2)设cnanbn，数列cn的前n项和
8、为Tn，求Tn.思路探究由an完成第(1)问；由题设知an为等差数列，bn为等比数列，因此可用错位相减法求Tn.解(1)an即an当n1时，an2n也成立，an2n，即数列an的通项公式为an2n.(2)由an2n，bnxn1且cnanbn可得cn2nxn1，Tn24x6x28x32nxn1，则xTn2x4x26x38x42nxn.，得(1x)Tn22x2x22xn12nxn.当x1时，(1x)Tn22nxn，Tn.当x1时，Tn24682nn2n.错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和(2)注意事项：利用“错位相减
9、法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况3_.令Sn，则Sn，由得，Sn，得Sn2.1本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算2在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”3前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则
10、其前n项和为Snna()(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN)，则此数列一定是等比数列()答案(1)(2)(3)2数列 2n1的前99项和为()A21001B12100C2991D1299C数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S992991.3已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.2q2，n5，Sn62，62，即62，a12.4已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.