1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=11-x+lg(1+x)的定义域是()A.(-,-1)B.(1,+)C.(-1,1)(1,+)D.(-,+)解析:要使函数f(x)=11-x+lg(1+x)有意义,应满足1+x0,1-x0,解得(-1,1)(1,+).故选C.答案:C2.已知a=0.993,b=log20.6,c=log3,则()A.cabB.bcaC.abcD.bac解析:0a=0.9931,b=log20.61,ba0,且a1)的部分图象如图所示,则a,b满足
2、的关系是()A.0a-1b1B.0ba-11C.0b-1a1D.0a-1b-11.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由题中函数图象可知-1logab0,解得1ab1.综上有01ab0,b0,且ab,f(a)=f(b),则ab等于()A.1B.e-1C.eD.e2解析:函数f(x)=lnx-12,ab,f(a)=f(b),lna-12=lnb-12,lna-12=lnb-12或lna-12=12-lnb,即lna=lnb或ln(ab)=1,解得a=b(舍)或ab=e,ab=e.故选C.答案:C7.已知函数f(x)=ax+logax(a0,且a1)在区间1,2上的最大值与最小值之和为l
3、oga2+6,则a的值为()A.12B.14C.2D.4解析:显然函数y=ax与y=logax在区间1,2上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在区间1,2上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.答案:C8.若函数y=a|x|(a0,且a1)的值域为y|00,且a1)的值域为y|0y1,则0a0,log12(-x),xf(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)
4、(0,1)解析:当a0时,-af(-a),则log2alog12-(-a),即log2alog12a,此时a1;当a0,若f(a)f(-a),则log12(-a)log2(-a),此时,-1abcB.bcaC.cabD.cba解析:因为1log23log22=2,0log32log33=1,所以0log32log232.因为函数f(x)在区间0,+)上单调递增,所以f(log32)f(log23)f(2).因为f(x)是偶函数,所以a=flog213=f(-log23)=f(log23),b=flog312=f(-log32)=f(log32),c=f(-2)=f(2),所以ba0,解得-2x
5、0,且a1)的图象关于直线y=x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点.解析:因为函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a0,且a1)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=ax,故函数g(x)=f(x-1)-3=ax-1-3,则函数y=g(x)的图象必过定点(1,-2).答案:(1,-2)15.已知函数f(x)=log2x,x0,log12(-x),x0,若f(a)0,log2a0或a0,log12(-a)0,得0a1或a-1.答案:(-,-1)(0,1)16.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且x(-1,
6、0)时,f(x)=2x+65,则f(log220)=.解析:由f(x+1)=f(1-x)及f(-x)=-f(x),得f(-x)=f(2+x)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),又log224log220log225,即4log2200,得-1x0)为增函数,f(x)的单调递增区间是(-1,1,单调递减区间是1,3).(2)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,则函数h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有a0,12a-44a=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f(x)的最小值为0.20.(12分)已知函数f(x)=alog2x+blog3x,其中常数a,b满
7、足ab0.(1)若a0,b0,证明函数f(x)在定义域内为增函数;(2)若a=ln(m2+2m+3),b=ln 10,解不等式f(3x-1)f(x+3).解:f(x)=alog2x+blog3x,其定义域为(0,+).(1)任取x1,x2(0,+),x1x2,则f(x1)-f(x2)=alog2x1+blog3x1-(alog2x2+blog3x2)=a(log2x1-log2x2)+b(log3x1-log3x2).0x1x2且y=log2x和y=log3x在区间(0,+)上为增函数,log2x1log2x2,log3x10,b0时,有a(log2x1-log2x2)0,b(log3x1-l
8、og3x2)0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)ln1=0,b=ln10ln1=0,由(1)可知函数f(x)在区间(0,+)上为增函数,f(3x-1)f(x+3)3x-10,x+30,3x-1x+3,13x2,原不等式的解集为x130,得函数y=f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)在区间10,+)上是增函数,10k-110-10,k110.又f(x)=lgkx-1x-1=lgk+k-1x-1,故对任意的x1,x2,当10x1x2时,恒有f(x1)f(x2),即lgk+k-1x1-1lgk+k-1x2-1,k-1x1-1k-1x2-1,(k-1)1x1-1-1x2-11x2-1,
9、k-10,k0).(1)若函数f(x)过点(1,1),求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的取值范围;(3)设a0,若对任意实数t13,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不大于1,求实数a的取值范围.解:(1)aR,函数f(x)=log21x+a(x0)的图象过点(1,1),f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,函数f(x)=log21x+1(x0).(2)g(x)=f(x)+2log2x=log21x+a+2log2x=log2(x+ax2).函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,ax2+x=1在区
10、间(0,+)上只有一个解.令h(x)=ax2+x-1.当a=0时,h(x)=x-1,只有一个零点1,成立;当a0时,h(x)=ax2+x-1在区间(0,+)上只有一个零点,又h(0)=-10,或a0,或a=-14.综上,实数a的取值范围为aa0,或a=-14.(3)f(x)=log21x+a=log21+axx.任取0x11,所以log2x2+ax1x2x1+ax1x20,所以f(x1)f(x2),所以函数f(x)是区间(0,+)上的减函数,函数f(x)在区间t,t+1(t13,1)上的最大值与最小值分别是f(t)与f(t+1).由题意,得f(t)-f(t+1)1,即1+attt+11+at+a2,整理,得a1-tt2+t.设Q(t)=1-tt2+t,任取13t10,Q(t1)Q(t2),函数Q(t)在t13,1上为减函数,aQ13,即a1-13132+13,a32,实数a的取值范围是32,+.
