1、第二十七讲数列的概念与简单表示法一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第1行1第2行23第3行4567则第9行中的第4个数是()A132B255C259 D260解析：由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列前8行数的个数共有255(个)，故第9行中的第4个数是259.答案：C2在数列an中，a12，an1anln，则an()A2lnn B2(n1)lnnC2nlnn D1nlnn解析：由已知，an1anln，a12，anan1ln，an1an2ln，a2
2、a1ln，将以上n1个式子累加，得ana1lnlnlnlnlnn，an2lnn.答案：A3(2010苏州模拟)已知数列an的前n项和Snn3，则a6a7a8a9等于()A729 B367C604 D854解析：a6a7a8a9S9S59353604.答案：C4已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k()A6 B7C8 D9解析：由Snn29n可得等差数列an的通项公式anSnSn12n10，由5ak8可得52k108且kZ，解得k9且kZ，k8.答案：C5已知f(x)为偶函数，且f(2x)f(2x)，当2x0时，f(x)2x，若nN*，anf(n)，则a2006()A200
3、6 B4C. D4分析：利用函数图象的对称性，得到数列的递推关系an4an，此关系恰好反映了数列的周期性，从而解决问题解析：由f(x)为偶函数得0x2时，f(x)2x.又f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于x2对称又f(x)的图象还关于x0对称，f(x4)f(x)an4an.a2006a45012a2f(2)22.选C.答案：C6已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A0 B100C100 D10200解析：当n为奇数时，ann2(n1)2(2n1)，当n为偶数时，ann2(n1)22n1，则an(1)n(2n1)a1a2a3a10035791992012
4、50100，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7已知数列an的前n项和Sn159131721(1)n1(4n3)，则S22S11的值是_解析：从等式右边观察特点总结规律，前两项和为4，再两项的和也是4等等，则S2211(4)44，S115(4)a1120411321，S22S11442165.答案：658数列an满足关系anan11an1(nN*)，且a20102，则a2008_.分析：将所给数值直接代入求值较为麻烦，将an整理为an1时用起来较为方便解析：由anan11an1(nN*)，a20102，得an1，a20091，a200
5、81213.答案：39已知Sn是数列an的前n项和，且有Snn21，则数列an的通项公式是_解析：当n1时，a1S1112，当n2时，anSnSn1(n21)(n1)212n1.答案：10已知数列an的前n项和为Sn，且有a13,4Sn6anan14Sn1，则an_.解析：n2时，4Sn4Sn14an6anan1，ana1n1321n.答案：321n三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11在数列an中，已知Sn32an，求an.解：anSnSn1(32an)(32an1)，an2an1即2(n2)an是a1S13且q2的等比数列故ana1qn
6、132n1(n1)12已知数列an满足a11，anan11(n2)，求通项公式an.分析：比较两种解法，这两种方法都是常用的方法，解法一通过构造数列，直接得到通项公式；解法二通过已知的递推关系转化为另一个递推关系，累加后再利用等比数列的前n项和求得解：解法一：构造数列法anan11(n2)，构造数列anr，则anr(an1r)，两式比较可得r2，an2(an12)，数列an2是以a121为首项，为公比的等比数列，an2n1，即an2n1(nN*)解法二：累差法由anan11知an1an1，两式相减得an1an(anan1)令an1anbn，得bnbn1(n2)b1a2a1a11a1，bn是以为
7、首项，为公比的等比数列，bnn，即an1ann.则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a112n1(nN*)13已知数列an的前n项和为Sn，并且满足a12，nan1Snn(n1)(1)求an的通项公式；(2)令TnnSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有TnTm，若存在，求m的值；若不存在，说明理由解：(1)令n1，由a12及nan1Snn(n1)得a24，故a2a12.当n2时，有(n1)anSn1n(n1)得：nan1(n1)anan2n.整理得，an1an2(n2)当n1时，a2a12，所以数列an是以2为首项，以2为公差的等差数列，故an2(n1)22n.(2)由(1)得Snn(n1)，所以TnnSnn(n2n)故Tn1n1(n1)2(n1)，令，即，即，解得8n9.故T1T2T10T11故存在正整数m对一切正整数n，总有TnTm，此时m8或m9.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
