1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A相等B互补C不确定 D相等或互补答案：C2对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()Amn，m，n Bmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，n解析：因为mn，n，所以m.又m，所以.答案：C3如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90B60C45D30解析：因为PA平面ABC，BA平面ABC，CA平面ABC，所以BAPA，CAPA，因此，B
2、AC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.答案：A4如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，从而CDAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.答案：D5已知m，l是直线，是平面，给出下列命题：若l垂直于平面内两条相交直线，则l；若l，则l平行于内所有直线；若m，
3、l，且lm，则；若l，且l，则.其中正确的是()A BC D解析：是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确l，则l与内的直线可能平行，也可能异面，故不正确两个平面平行时，分别在两平面内存在相互垂直的直线，故不正确答案：B二、填空题6.如图所示，在正四面体PABC(棱长均相等)中，E是BC的中点则平面PAE与平面ABC的位置关系是_解析：因为PBPC，E是BC的中点，所以PEBC，同理AEBC，又AEPEE，所以BC平面PAE.又BC平面ABC，所以平面PAE平面ABC.答案：垂直7过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD，且APAB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是_解析：可
4、将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45.答案：458.如图所示，在三棱锥SABC中，SBC，ABC都是等边三角形，且BC1，SA，则二面角SBCA的大小为_解析：如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.因为ABAC，O是BC的中点，所以AOBC，同理可证SOBC，所以SOA是二面角SBCA的平面角在AOB中，AOB90，ABO60，AB1，所以AO1sin 60.同理可求SO.又SA，所以SOA是等边三角形，所以SOA60，所以二面角SBCA的大小为60.答案：60三、解答题9.(2014北京卷)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1
5、AC2，BC1，E是A1C1的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求三棱锥EABC的体积(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又ABBC，所以AB平面B1BCC1.因为AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)解：因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.10如图所示，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC的中点(1)证明SO平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值(1)证明：如图所示，由题设ABACSBSCSA.连接OA，ABC为等腰直角
6、三角形，所以OAOBOCSA，且AOBC.又SBC为等腰三角形，故SOBC，且SOSA.从而OA2SO2SA2，所以SOA为直角三边形，SOAO.又AOBCO，所以SO平面ABC.(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.由(1)知SOOC，SAAC，得OMSC，AMSC.所以OMA为二面角ASCB的平面角由AOBC，AOSO，SOBCO，得AO平面SBC.所以AOOM.又AMSA，AOSA，故sinAMO.所以二面角ASCB的余弦值为.B级能力提升1设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则解析
7、：由已知m，n，mn，图图如图可知与可能平行，也可能相交，故A，B错对于D，n，mn，则m，又m，则，所以错误综上可知C选项正确答案：C2矩形ABCD的两边AB3，AD4，PA平面ABCD，且PA，则二面角ABDP的度数为_解析：过点A作AEBD，连接PE，则AEP为所求角因为由AB3，AD4知BD5，又ABADBDAE，所以AE.所以tanAEP.所以AEP30.答案：303(2015课标全国卷节选)如图所示，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.证明：平面AEC平面AFC.证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.
