1、计算题专练(二)共 2 小题，共 32 分。要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。1.(2019昆明市模拟)(12 分)2018 年 10 月 23 日，港珠澳大桥开通，这是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海大桥。如图所示的水平路段由一段半径为 48 m 的圆弧形弯道和直道组成。现有一总质量为 2.0103kg、额定功率为 90 kW 的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度 g10 m/s2。(1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的 1.2 倍，求该汽车安全通过此弯道的最大速度；(2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为
2、3 m/s2 的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的 0.15 倍，求该汽车匀加速运动的时间及 3 s末的瞬时功率。答案(1)24 m/s(2)3.3 s 81 kW解析(1)径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车通过此弯道的速度最大，设最大速度为 vm，则有：f 径向mv2mr根据题意 f 径向1.2mg代入数据解得：vm24 m/s。(2)汽车在匀加速过程中：Ffma当功率达到额定功率时，P0Fv1v1at1代入数据解得：t13.3 st3 st13.3 s则汽车在该过程中始终做匀加速运动，有：vatPFv则 3 s 末发动机功率为：P81 kW。2(2019成都市三诊)(20 分)如
3、图，竖直面内固定的绝缘轨道 abc，由半径 R3 m 的光滑圆弧段 bc 与长 L1.5 m 的粗糙水平段 ab 在 b 点相切而构成，O 点是圆弧段的圆心，Oc 与 Ob 的夹角 37；过 c 点的竖直虚线左侧有方向竖直向上、场强大小 E10 N/C 的匀强电场，Ocb 的外侧有一长度足够长、宽度 d1.6 m 的矩形区域 efgh，ef 与 Oc 交于 c 点，ecf 与水平向右的方向所成的夹角为(53147)，矩形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量 m23103 kg、电荷量 q3103 C 的带正电小物体 Q 静止在圆弧轨道上 b 点，质量 m11.5103 kg 的不带电小物体
4、 P 从轨道右端 a 以v08 m/s 的水平速度向左运动，P、Q 碰撞时间极短，碰后 P 以 1 m/s 的速度水平向右弹回。已知 P 与 ab 间的动摩擦因数 0.5，P、Q 均可视为质点，Q 的电荷量始终不变，忽略空气阻力，sin370.6，cos370.8，重力加速度大小 g10 m/s2。求：(1)碰后瞬间，圆弧轨道对物体 Q 的弹力大小 FN；(2)当 53时，物体 Q 刚好不从 gh 边穿出磁场，求区域 efgh 内所加磁场的磁感应强度大小 B1；(3)当区域 efgh 内所加磁场的磁感应强度为 B22 T 时，要让物体 Q 从gh 边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，求此最长时
5、间 t 及对应的 值。答案(1)4.6102 N(2)1.25 T(3)127360 s 90或 143解析(1)设 P 碰撞前、后的速度分别为 v1 和 v1，Q 碰后的速度为 v2。从 a 到 b，对 P，由动能定理有：m1gL12m1v2112m1v20，代入数据得：v17 m/s，碰撞过程中，对 P、Q 组成的系统，由动量守恒定律有：m1v1m1v1m2v2，设向左为正方向，由题意：v11 m/s，代入数据得：v24 m/s，在 b 点，对 Q 由牛顿第二定律：FNm2gm2v22R，代入数据解得：FN4.6102 N。(2)设 Q 在 c 点的速度为 vc从 b 到 c 点，由机械能
6、守恒定律有：m2gR(1cos)12m2v2c12m2v22，代入数据解得：vc2 m/s进入磁场后，Q 所受电场力为：FqE3102 N而：m2g3102 N因 Fm2g，故 Q 在磁场中做匀速圆周运动由牛顿第二定律：qvcB1m2v2cr1Q 刚好不从 gh 边穿出磁场，由几何关系有：r1d1.6 m代入数据解得：B11.25 T。(3)当所加磁场的磁感应强度为 B22 T 时：qvcB2m2v2cr2代入数据解得：r21 m要让物体 Q 从 gh 边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，则 Q 在磁场中运动的轨迹对应的圆心角最大，即当 gh 边或 ef 边与轨迹圆相切时(如图 1、2 所示)，设最大圆心角为，由几何关系有：cos(180)dr2r2代入数据解得：127周期：T2m2qB2故 Q 在磁场中运动的最长时间为：tm 3602m2qB2 127360 s对应的 角为：1(90)(90)90，或 2180143。本课结束
