1、专题31 不等式的性质一学习目标【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用二知识点【知识要点】1不等式的定义用不等号“,”将两个数学表达式连接起来,所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0a b;ab0ab;ab0a bb b,bca c;(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d;(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0ac b0,cd0acbd;(5)倒数法则:ab,ab0;(6)乘方性质:ab0 (n2,nN*);(7)开方性质:ab0 (n2,nN*);(8)有关分数的性质:若ab0,m0,则
2、真分数的性质:(bm0);假分数的性质:;0)4基本不等式(1)a2b22ab;变式:ab;当且仅当ab时等号成立;(2)如果a0,b0,则;变式:ab,当且仅当ab时,等号成立,其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数5(1)若a0,b0,且abP(定值),则由ab可知,当ab时,ab有最大值;(2)若a0,b0且abS(定值),则由ab22可知,当ab时,ab有最小值2.三命题类型1.不等式的性质应用2.不等式与函数综合3. 比较大小4.用不等式性质证明不等式5.不等式中的含参数问题四命题类型及陷阱解读1.不等式的性质应用例1.设, , ,则, 的大小关系是( )A. B
3、. C. D. 不确定【答案】C练习1如果,且,那么的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】,且又,选B2设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是( )A. (a+b) 4 B. a3+b32ab2C. a2+b2+22a+2b D. 【答案】B【解析】a0,b0,(a+b)( )=2+4恒成立.又a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)20,a2+b2+22a+2b恒成立.当ab时,( )2=a-b.而()2=a+b-2=a-b+2b-2=(a-b)+2().ab0,0.(a-b)+2 ()a-b,即.当a0.而B D. Aa+b=B2,A2B2.AB.答
4、案:C4设a=dx,b=dx,c=dx,则下列关系式成立的是()A. B. C. D. 5 B. M3时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,记在上单调递增,故选:D五解题方法规律1.运用不等式的基本性质解决不等式问题,要注意不等式成立的条件,如性质(4)(5)(6)(7)中要求乘数大于0,性质(6)(7)中还要求nN且n1.2.比较数(式)大小,一般用:(1)作差法,具体步骤:作差变形判断(与0比较)结论;(2)作商法,具体步骤:作商变形判断(与1比较)结论,注意分母的符号.3.判断不等式是否成立,一般可用不等式性质、函数性质、基本不等式进行推理,也可以利用特殊值法对命题进行否定.4.实际中的不等量问题的建模:(1)将每个量用数或代数式表示,(2)用不等号连结.5.a2b22ab成立的条件是a,bR,而成立,则要求a0,b0.6.利用基本不等式求最值,要注意使用条件:一正(各数为正),二定(和或积为定值),三相等(等号在允许取值范围内能取到),要熟悉均值不等式的各种变形.7.连续使用以上公式中的任一个或两个,取等号的条件要在同一条件下取得,方可取到最值.