1、专题29 二项式定理及赋值法一学习目标【学习目标】1能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题二方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C，而后者是指字母外的部分.2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr1.3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决
2、，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项.6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决.三命题类型及陷阱1.求展开式的项及系数方法：直接使用二项式定理的通项公式2求二项式系数及二项式系数防陷阱方法：区分两者的区别3.求展开式的系数之和解法：赋值求和4.求系数的绝对值之和解法：把式子中的负号变正后再赋值5.赋值法用途：求含参数的较难的二项式问题6.用计数原理求
3、项用法：对于多项式乘法求某项7.二项式定理与其它知识的综合四命题类型讲解及训练1.求展开式的项例1已知等差数列an的通项公式为，则的展开式中含项的系数是该数列的()A. 第9项 B. 第10项 C. 第19项 D. 第20项【答案】D【解析】 因为展开式中含项的系数是，由得，故选D.练习1对于二项式，四位同学作了四种判断，其中正确的是( )（1）存在，展开式中有常数项；（2）对任意,展开式中没有常数项；（3）对任意,展开式中没有的一次项；（4）存在,展开式中有的一次项。A. (1)(3) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (1)(4)【答案】D【解析】展开式的通项为，当时， 为常数
4、项.当时， 为一次项.故选.2已知展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】通项为， ，即，解得，当时，令，求得和为，当时，令，求得和为.3的展开式的各项系数之和为()A. B. C. D. 【答案】C4若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知： ，所以，故，令得所有项系数之和为.2求二项式系数及二项式系数之和例2(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n展开式中所有二项式系数和为 ( )A. 2n+1 B. 2n+1+1 C.
5、 2n+1-1 D. 2n+1-2【答案】D【解析】令可得题中展开式所有二项式系数和为：.本题选择D选项.练习1 ，且，则等于（ ）()A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】令，得.，.3.整除问题例3. 若为正奇数，则被9除所得的余数是()A. 0 B. 2 C. 7 D. 8【答案】C【解析】原式，为正奇数， ，则余数为7，故选C.【方法总结】本题主要考查了二项式应用问题，属于基础题，对于二项展开式应用的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系
6、数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用练习1. 除以，所得余数是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】，展开式的通项为，不能被整除即时，余数为，由于余数要为正数，故加，得.【点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为的倍数来展开. 二项式的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；（4）近似计算.4.求系数的绝对值之和例4. 的展开式中，系数绝对值最大的是()A. 第4项 B. 第4、5两项 C. 第5项 D. 第3、4两项【答案】B练习1、(|x |+
7、2)3展开式中的常数项为 ( )A. 20 B. 8 C. 一8 D. 一20【答案】C【解析】由题意可得： ，结合通项公式有： ，常数项满足： ，即常数项为： .本题选择C选项.5.赋值法例5. 已知，则等于（ ）(A. 215 B. 214 C. 28 D. 27【答案】B【解析】 ，故选B.练习1.设，则中奇数的个数为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】 因为， ，所以计数的个数是，故选A.练习2.记，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 129 D. 2188【答案】C【解析】在中，令，可得， ，所以 ，故选C.【方法总结】本题主要考查二项展开式定理的通项与各
8、项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3.设则(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值为( )A. 1 B. 1 C. 0 D. 2【答案】A【解析】(a0+a2+a4)2(a1+a3)2 选A4.，则_.【答案】285. 若，则_.(用数字作答)【答案】2009【解析】令，则.高$考试(题库:_ST令，则. 6.用计数原理求项例6. 在的展开式中， 的系数为_ （用
9、数字作答）【答案】60【解析】，它展开式中的第项为，令，则 ， 的系数为，故答案为练习1. 求展开式中含的项【答案】【解析】试题分析：由，可得展开式中第项为，由题意可得或或，即可求解的系数.试题解析：，则展开式中第项为.令，则.,，且，或或.展开式中含的项为.【方法总结】本题主要考查二项展开式的系数问题的求解，属于简单题，根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.7.二项式定理应用与其它知识的综合例7. 已知 ，则的值等于（ ）A
10、. 64 B. 32 C. 63 D. 31【答案】C【方法总结】二项式通项与展开式的应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.(2)展开式的应用：可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.有关组合式的求值证明，常采用构造法.练习1. 设，若(1kx)8a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a3a8()A. 1 B. 0C. 1 D. 256【答案】B【解析】(cosxsinx) (cossin)(cos0sin0)2，(12x)8a0a1xa8x8，令x1，得a0a1a2a81，令x0
11、，得a01，a1a2a3a80，故选B.2若(12x)2 016a0a1xa2x 2a 2 016 x 2 016，则的值为()A. 2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】当x0时，左边1，右边a0，a 01.当时，左边0，右边a 0，01.即.3.下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的分别为16、18，输出的结果为，则二项式的展开式中常数项是（ ）A. -20 B. 52 C. -192 D. -160【答案】D4已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A. -20 B. 20 C.
12、 D. 60【答案】A【方法总结】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A. -20 B. 20 C. D. 60【答案】A【解析】模拟程序框图
13、的运行过程，如下： ，是， ； ，是， ； ，是， ； ，否，退出循环，输出的值为二项式的展开式中的通项是，令，得常数项是，故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.四高考真题演练1.【2017课标1，理6】
14、展开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.2.【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为A B C40D80【答案】C【解析】故选C.【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负
15、整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.3.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12种 B18种 C24种 D36种【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原
16、则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。4. 【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】考点： 计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而
17、未完成这件事，步步之间是相关联的5. 【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）15x4 （B）15x4 （C）20i x4 （D）20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式的展开式可以改为，则其通项为，即含的项为6. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）4
18、8 （C）60 （D）72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D.考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置.7. 【2015高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（ ）A4 B5 C6 D7【答案】C【考点定位】二项式定理【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错
19、误解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是8. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能
20、一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果9. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【解析】【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.10.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为 ( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式
21、取y,故的系数为=30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11. 【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B C D【答案】D【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.12. 【
22、2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【答案】C【解析】试题分析：将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置坐人，故总数由4=24，故选D.考点：排列组合. 【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础
23、知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.13. 【2015湖南理2】已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第项为，即可建立关于的方程，从而求解.14.【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】【考点】排列组合的应用【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原
24、理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式15.【2017浙江，13】已知多项式32=，则=_，=_【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之
25、一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用16.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】 【解析】 【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.17. 【2016年高考北京
26、理数】在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【答案】60.【解析】【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.18.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：的展开式通项为(,1,2,5),令得,所以的系数是.考点:二项式定理19.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为_.
27、(用数字作答)【答案】【解析】考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解20.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是80，则实数a=_.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式
28、的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.21.【2015高考天津，理12】在 的展开式中，的系数为 .【答案】【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.22.【2015高考北京，理9】在的展开式中，的系数为（用数字作答）【答案】4023.【2015高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .【答案】【解析】由题可知，令解得，所以展开式中
29、的系数为，故应填入【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：24.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）【答案】【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入【考点定位】排列问题【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题25.【2015高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 （用数
30、字作答）.【答案】.【解析】，所以的系数为.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.26.【2016高考上海理数】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.【答案】【解析】【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.27.【2014课标，理13】的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，展开式通项为，当时，；当时，故的展开式中项为，系数为【
31、考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能力.28.【2015高考重庆，理12】的展开式中的系数是_(用数字作答).【答案】【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.【考点定位】二项式定理【名师点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.29.【2015高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）【
32、答案】【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.30.【2015高考福建，理11】 的展开式中，的系数等于 （用数字作答）【答案】【解析】 的展开式中项为，所以的系数等于【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度31.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求 的值；（2）设m，nN*，nm，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析【解析】（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.
