1、阶段质量检测(四)建议用时：40分钟一、选择题1等差数列an的前n项和是Sn，a11，S99S3，则an()An B2n1 C3n2 D2nB设等差数列an的公差为d，a11，S99S3，936d9(33d)，解得d2.an12(n1)2n1.故选B2(2020淄博模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若a5a3，则()A B C DA由a5a3，可得q2，则1q4.故选A3设an是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d0”是“nN*，Sn1Sn”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件D“nN*，Sn1Sn”an10 .“d0”与“nN*，an10”相
2、互推不出，与a1的取值(正负)有关系，“d0”是“nN*，Sn1Sn”的既不充分也不必要条件故选D4已知等差数列an的前n项和为Sn，且a8a56，S9S475，则Sn取得最大值时n()A14 B15 C16 D17A设等差数列an的公差为d，a8a56，S9S475，3d6,5a130d75，解得a127，d2，an272(n1)292n.令an0，解得n14.则Sn取得最大值时n14.故选A5在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半大意是：有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙大老鼠一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一
3、天也进一尺，以后每天减半若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢()A5 B6 C7 D8B大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足33，即2n1233，即2n32，则f (n)2n在n1上单调递增，f (5)253232，相遇时是第6天，故选B6(2020福州模拟)已知数列an为等差数列，若a1，a6为函数f (x)x29x14的两个零点，则a3a4()A14 B9 C14 D20D等差数列an中，a1，a6为函数f (x)x29x14的两个零点，a1a69，a1a614，a12，a67，或a17，a62，当a12，a67时，d1，
4、a34，a45，a3a420.当a17，a62时，d1，a35，a44，a3a420.故选D7(2020保定一模)已知等差数列an的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：(0)；A，B，O确定一个平面；a3a98，则S100()A29 B40 C45 D50D因为，且A，B，O确定一个平面，所以A，B，C三点共线，且A，B，C，O四点共面又因为a3a98，所以a3a981.又因为an是等差数列，所以S10050，故选D8.(2020潍坊模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为()A13 B39C48 D58C由排列的规律可得，第n1行结束的时候共
5、排了123(n1)个数，则第n行的第一个数字为1，第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48，故选C二、填空题9等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q等于 S1，S3，S2成等差数列，可得2S3S1S2，即2(a1a2a3)a1a1a2，所以2a1(1qq2)a1(2q)，化为2q2q0，解得q(q0舍去)10(2020唐山一模)在数列an中，已知a11，an1antn(nN*，t为非零常数)，且a1，a2，a3成等比数列，则an .a2a1t1t，a3a22t13t，依题意a1，a2，a3成等比数列，即(1t)21(13t)，解得t0(
6、舍去)，t1.n2时，a2a11，a3a22，anan1n1，以上各式相加得ana112(n1)n(n1)，即有an.n1时，表达式也成立，所以nN*，an.11(2020茂名二模)为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(nN*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于 (盈利额总收入总成本)4设每年的营运成本为数列an，依题意该数列为等差数列，且a13，d2.所以n年后总营运成本Snn22n，因此，年平均盈利额为：
7、n1821810，当且仅当n4时等号成立12(2020泉州二模)等差数列an的公差为2，若aa2a8，且2n1(nN*)，则b3 ，数列bn的通项公式为 48bn等差数列an的公差为2，aa2a8，(a132)2(a12)(a172)，解得a12.an22(n1)2n.2n1(nN*)，n2时，2n，2n12n2n，可得：bnn2n1.n1时，22，解得b18.bnb332448.三、解答题13(2020邵阳一模)已知正项数列an中，a11，a2an1an3a0.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bnan是等差数列，且b12，b314，求数列bn的前n项和Sn.解(1)正项数列an中，a
8、11，a2an1an3a0.(an13an)(an1an)0，an13an，又a11，数列an是首项1，公比为3的等比数列an3n1.(2)设等差数列bnan的公差为d，且b12，b314，1432212d，解得12(n1)2n1.数列bn的前n项和Sn(132n1)13323n1n2.14已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前n项和，a29，S339.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)数列an是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得q1，由a29，S339，可得99q39，解得q3或(舍去)，则数列an的通项公式为ana2qn293n23n.(2)
9、bn(2n1)，Tn135(2n1)，Tn135(2n1)，两式相减可得Tn2(2n1)2(2n1)，化简可得Tn1(n1).15结构不良试题(2020青岛模拟)设数列an的前n项和为Sn，a11， .给出下列三个条件：条件：数列an为等比数列，数列Sna1也为等比数列；条件：点(Sn，an1)在直线yx1上；条件：2na12n1a22annan1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解选条件：(1)数列Sna1为等比数列，(S2a1)2(S1a1)(S3a1)，即(2a1a2)22a1(2a
10、1a2a3)设等比数列an的公比为q，(2q)22(2qq2)，解得q2或q0(舍)，ana1qn12n1.(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn.选条件：(1)点(Sn，an1)在直线yx1，an1Sn1，又anSn11(n2，nN)，两式相减有：an12an，又a11，a2S112，也适合上式，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列ana1qn12n1.(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn.选条件：(1)2na12n1a22annan1，2n1a12n2a22an1(n1)an(n2)，即2na12n1a222an12(n1)an，(n2)由两式相减可得：2annan12(n1)a
11、n，即an12an，又a11，a22a1，也适合上式，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列ana1qn12n1.(2)由(1)知：an2n1，bn，Tn.16(2020潍坊模拟)已知函数f (x)xln xkx，kR.(1)求yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)若不等式f (x)x2x恒成立，求k的取值范围；(3)求证：当nN*时，不等式ln(4i21)成立解(1)函数yf (x)的定义域为(0，)，f (x)1ln xk，f (1)1k，f (1)k，函数yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为yk(k1)(x1)，即y(k1)x1.(2)对于不等式f (x)x2x
12、恒成立，即xln xkxx2x恒成立，因为x0，所以ln xkx1恒成立，即ln xxk10恒成立设g(x)ln xxk1(x0)，g(x)1，x(0,1)，g(x)0，g(x)单调递增，x(1，)，g(x)0，g(x)单调递减，不等式f (x)x2x恒成立，且x0，ln xxk10，g(x)maxg(1)k20即可，故k2.(3)证明：由(2)可知：当k2时，ln xx1恒成立，令x，由于iN*，0.故ln 1，整理得：ln(4i21)1，变形得： ln(4i21)1，即：ln(4i21)1，i1,2,3，n时，有ln 31，ln 151，ln(4n21)1，两边同时相加得：ln(4i21)n，所以不等式在nN*上恒成立
