1、6.2.4向量的数量积第2课时向量的数量积的应用课后训练提升基础巩固1.已知向量a,b和实数,下列选项错误的是()A.|a|=aaB.|ab|=|a|b|C.(ab)=abD.|ab|a|b|答案B2.已知ab,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与a-b垂直,则实数等于()A.32B.-32C.32D.1解析由题意知(3a+2b)(a-b)=3a2+(2-3)ab-2b2=3a2-2b2=12-18=0,解得=32.答案A3.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,ab=-3,则|a+2b|=()A.1B.7C.4+3D.27解析根据题意,得|a+2b|=a2+4ab+4b2=7.故选B.
2、答案B4.在四边形ABCD中,AB=DC,且ACBD=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形解析由AB=DC知四边形ABCD是平行四边形,由ACBD=0知ACBD,即对角线互相垂直,因此四边形ABCD是菱形.答案B5.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则|a|=()A.2B.4C.6D.12解析(a+2b)(a-3b)=-72,a2-ab-6b2=-72,|a|2-|a|b|cos 60-6|b|2=-72,|a|2-2|a|-24=0,解得|a|=6或|a|=-4(舍去),|a|=6.答案C6.若O为ABC所在平面内任意一点,
3、且满足(OB-OC)(OB+OC-2OA)=0,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析因为(OB-OC)(OB+OC-2OA)=0,即CB(AB+AC)=0,又因为AB-AC=CB,所以(AB-AC)(AB+AC)=0,即|AB|=|AC|,所以ABC是等腰三角形.答案A7.已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos =13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=.解析|a|2=(3e1-2e2)(3e1-2e2)=9e12-12e1e2+4e22=9-121113+4=9,|a|=3.答案38.已知向量a,b满足(a+2b)(5a-4b)=0,且|a
4、|=|b|=1,则a与b的夹角为.解析因为(a+2b)(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,所以6ab-8+5=0,即ab=12.又ab=|a|b|cos =cos ,所以cos =12.因为0,所以=3.答案39.已知非零向量a,b,满足ab,且a+2b与a-2b的夹角为120,则|a|b|=.解析ab,ab=0,(a+2b)(a-2b)=a2-4b2,|a+2b|=a2+4ab+4b2=a2+4b2,|a-2b|=a2-4ab+4b2=a2+4b2,a2-4b2=a2+4b2a2+4b2cos 120,化简得32a2-2b2=0,|a|b|=233.答案23310.已知|a|=4,|b|
5、=8,a与b的夹角是60,则(2a+b)(2a-b)=,|4a-2b|=.答案01611.已知非零向量a,b,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.解由向量垂直得(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0,即7a2+16ab=15b2,7a2-30ab=-8b2,化简得ab=12|b|2,|a|=|b|,cos=ab|a|b|=12|b|2|b|2=12.又0,a与b的夹角为3.能力提升1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|=()A.1B.3C.5D.3解析由于投影相等,故有|
6、a|cos=|b|cos.因为|a|=1,|b|=2,所以cos=0,即ab,则|a-b|=|a|2+|b|2-2ab=5.答案C2.若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4B.2C.34D.解析设a与b的夹角为,根据题意可知,(a-b)(3a+2b),得(a-b)(3a+2b)=0,所以3|a|2-ab-2|b|2=0,3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0,再由|a|=223|b|,得83|b|2-223|b|2cos -2|b|2=0,得cos =22,又0,=4.答案A3.已知|a|=2|b|0,且关于x的方程x2+|a|
7、x+ab=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.0,6B.3,C.3,23D.6,解析因为=|a|2-4|a|b|cos (为向量a与b的夹角),若方程有实根,则有0即|a|2-4|a|b|cos 0,又|a|=2|b|,即4|b|2-8|b|2cos 0,解得cos 12,又0,3.答案B4.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a-b)=0,则|b|的取值范围是.解析b(a-b)=ab-|b|2=|a|b|cos -|b|2=0,|b|=|a|cos =cos (为a与b的夹角),0,0|b|1.答案0,15.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若|a|=1,
8、则|a|2+|b|2+|c|2的值是.解析方法一:由a+b+c=0,得c=-a-b.又(a-b)c,(a-b)c=0,(a-b)(-a-b)=0,即a2=b2.则c2=(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2=2,|a|2+|b|2+|c|2=4.方法二:如图,作AB=BD=a.BC=b,则CA=c.ab,ABBC,又a-b=BD-BC=CD,(a-b)c,CDCA,ABC是等腰直角三角形.|a|=1,|b|=1,|c|=2,|a|2+|b|2+|c|2=4.答案46.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120.若|ka+b+c|1(kR),则k的取值范围为.解析因
9、为|ka+b+c|1,所以(ka+b+c)(ka+b+c)1,即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.因为ab=ac=bc=cos 120=-12,所以k2-2k0,所以k0,k-20或k0,k-20,解得k2,即k的取值范围是k|k2.答案k|k27.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得(2te1+7e2)(e1+te2)|2te1+7e2|e1+te2|0,即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简即得2t2+15t+70.画出2t2+15t+7=0的图像,如图.若2t2+15t+70,则t-7,-12.当夹角为时,也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角,设2te1+7e2=(e1+te2),0,则2t=,7=t,0,解得=-14,t=-142.所求实数t的取值范围是-7,-142(-142,-12).
