1、四川省蓬安县第二中学2020-2021学年高二数学12月月考试题考试时间：120分钟；总分：150分第I卷（选择题）一、单选题(共60分)1(本题5分)直线的倾斜角和斜率分别是（ ）ABC，不存在D，不存在2(本题5分)设有直线，当k变动时，所有直线都经过定点（ ）A（0，0）B（0，1）C（3，1）D（2，1）3(本题5分)设直线在轴上截距为，在轴上的截距为，则（ ）ABCD4(本题5分)高二某班有学生52人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（ ）A13B14C18D265(本题5分)若三点A(
2、3，1)，B(2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于A2B3C9D96(本题5分)直线被圆截得的弦长等于（ ）A4B8CD7(本题5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A-10B6C14D188(本题5分)台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）A0.5hB1hC1.5hD2h9(本题5分)在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是（ ）点关于轴对称的点的坐标是；点关于平面对称的点的坐标是；点关于平面对称点的坐标是；点关于原点对称点的坐标
3、是.ABCD10(本题5分)设、且，直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D都有可能11(本题5分)已知三棱锥中，面，于，若三棱锥的外接球的球心为，三棱锥的外接球的球心为，则的长度为（ ）ABCD12(本题5分)已知直线与曲线的两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共20分)13(本题5分)已知x，y满足约束条件，则的最大值为_.14(本题5分)如图，是一个平面图形的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形的面积等于_15(本题5分)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，若|AB|，则m_.
4、16(本题5分)当直线被圆截得的弦最短时，的值为_.三、解答题(共70分)17(本题10分)已知的三个顶点，求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）的垂直平分线所在直线的方程；（3）边的中线的方程.18(本题12分)已知点和以为圆心的圆.（1）求经过点且与圆相切的直线方程；（2）若经过点的直线与圆相交于两点，且求直线的方程.19(本题12分)四棱锥PABCD中，ABCD，ABBC，ABBC1，PACD2，PA底面ABCD，E在PB上.（1）证明：ACPD；（2）若PE2BE，求三棱锥PACE的体积.20(本题12分)已知点在圆上.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最
5、大值和最小值.21(本题12分)某厂使用两种零件、装配两种产品、，该厂的生产能力是月产产品最多有2500件，月产产品最多有1200件；而且组装一件产品要4个、2个，组装一件产品要6个、8个，该厂在某个月能用的零件最多14000个；零件最多12000个.已知产品每件利润1000元，产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装、产品各多少件？最大利润多少万元？22(本题12分)已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B若，试求点P的坐标；求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标参考答案
6、1C【解析】解：直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90，而斜率不存在，故选 C2C【分析】将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点【详解】原直线方程变形为，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点故选：C【点睛】本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题3B【分析】由截距的定义，分别求出直线在x轴和y轴的截距即可.【详解】由直线令 令 即故选B【点睛】本题主要考查了直线在坐标轴上的截距，熟悉截距的定义是解题的关键，属于基础题.4C【分析】直接根据系统抽样的定义与性质求解即可.【详解】因为，所以由系统抽样的定义可知编号间隔是，所以样本中的另一个学生的编号为故选:C【点睛】本题主要考查
7、系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质.5D【解析】试题分析：由得，b的值为-9，故选D考点：本题主要考查直线方程，直线的斜率计算公式点评：简单题，可利用计算AB,AC的斜率相等，也可以先求直线AB的方程，再将点C坐标代入,求得b值6C【详解】圆x2+y2+4x-4y+6=0化为标准方程（x+2）2+（y-2）2=2，圆心坐标为（-2，2），半径为，（-2，2）满足方程x-y+4=0，圆心在直线x-y+4=0上，直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等
8、于直径，即为故选C.7B【解析】模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.8B【解析】以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线被圆 截得弦长为 ，所以B城市处于危险区内的时间为 ，选B.点睛：圆的弦长问题，处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：9D【分析】根据点关于坐标轴对称点的特点可判断的正误，利用点关于坐标平面对称点的特点可判断的正误，利用点关于原点的对称点的特点可判断的正误.【详解】空间直角坐标系中，点.对于，点关于轴对称的点的坐标是，错误； 对于，点
9、关于平面对称的点的坐标是，错误；对于，点关于平面对称点的坐标是，正确；对于，点关于原点对称点的坐标是，正确； 综上知，正确的命题序号是.故选：D.10C【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆的圆心坐标和半径，计算出圆心到直线的距离，并将该距离与圆的半径进行大小比较，由此可判断出直线与圆的位置关系.【详解】将圆的方程化为，圆心坐标为，半径.又因为圆心到直线的距离，故直线与圆相离.故选：C.11B【分析】根据三棱锥的特点确定两个三棱锥外接球的球心，的位置，即可得答案；【详解】因为，所以三棱锥的外接球的球心为的中点，因为，所以三棱锥的外接球的球心为的中点，所以为的中位线，所以，故选：B.【点睛】球与
10、三棱锥的切接问题，要注意球心位置的确定，即球心与各个顶点的距离相等.12D【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论，利用特殊位置进行研究即可【详解】由曲线是以（0，0）为圆心，为半径位于x轴上方的半圆，当直线过点A（-，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，即a=;当直线与曲线相切时，直线与 圆有一个交点，圆心到直线的距离等于半径，解得a=2或-2（舍），由于直线与曲线有且仅有两个交点，故：，故选：D【点睛】考查直线与半圆的交点个数，求参数取值范围1310【分析】由约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，结合图形，即可得到结论【详解】画出不等式组对应的平面区域如图： 由，得，则表
11、示直线的在轴的截距，由图象可知，当直线过点时，直线的在轴的截距最大，此时最大，由，解得，此时，故答案为：.14【分析】根据直观图还原平面图形，然后计算出平面图形的面积.【详解】根据直观图还原如下图所示：，所以，故答案为：.15【分析】根据题意圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，圆心为，若|AB|，则圆心到直线的距离为，即，解得.故答案为：.16【分析】先求得直线过定点，分析可知当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，进而利用斜率的关系即可求得m的值【详解】直线的方程可化为 所以直线会经过定点，解得定点坐标为 ，圆
12、C圆心坐标为 当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，所以，解方程得【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题17（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得直线BD的斜率kBD，代入点斜式易得；（2）同理可得kEF，再由中点坐标公式可得线段BC的中点，同样可得方程；（3）由中点坐标公式可得AB中点，由两点可求斜率，进而可得方程试题解析：（1）由斜率公式易知kAC=-2，直线BD的斜率.又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x-2y+4=0（2），又线段BC的中点为，EF所在直线的方程为y-2=
13、-（x+）整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0（3）AB的中点为M（0，-3），kCM=-7直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1x0）18（1）或；（2）.【分析】(1)分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可；（2）联立直线与圆的方程得到韦达定理，利用向量数量积的坐标运算结合，解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，圆心的坐标为，半径为2，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，依题意有，解得，此时直线方程为，即所以所求切线的
14、方程为或 （2）若直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆只有一个交点，不符合题意若直线斜率存在时，设直线方程为，由，得，其中即，解得或（舍去）所以直线方程为【点睛】关键点睛：在设直线方程时要注意分斜率存在与不存在两种情况讨论，避免漏解.19（1）证明见解析；（2）【分析】（1）过A作AFDC于F，推导出ACDA，ACPA，从而AC平面PAD，由此能求出ACPD（2）由VPACEVPABCVEABC，能求出三棱锥PACE的体积【详解】（1）过A作AFDC于F，因为ABCD，ABBC，ABBC1，所以CFDFAF1，所以DAC90，所以ACDA，又PA底面ABCD，AC平面ABCD，所以ACP
15、A，又PA，AD平面PAD，PAADA，所以AC平面PAD，又PD平面PAD，ACPD.（2）由PE2BE，可得VPACEVPABCVEABC，所以，所以三棱锥PACE的体积VPACEVPABCVEABC.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.【分析】（1）设，则，可视为直线在轴上的截距，利用线性规划知识即可求解；（2）可视为点与原点连线的斜率，数形结合可得与圆相切时可取最值，设出过原点的切线，利用圆心到切线的距离等于
16、半径即可得的范围，也即是的范围；（3）表示圆上的点 到定点的距离的最值，可转化为圆心到定点的距离与半径的和或差，即可求解.【详解】（1）设，则，可视为直线在轴上的截距，的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，的最大值为，最小值为.（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或.的最大值为，最小值为（3）求它的最值可视为求点 到定点的
17、距离的最值，可转化为圆心到定点的距离与半径的和或差.又圆心到定点的距离为，的最大值为，最小值为.【点睛】关键点点睛：对代数式最大值、最小值的研究，常用数形结合的思想方法；将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何发现代数式的特点，利用几何意义对其进行转化.21要使月利润最大，需要组装、产品2000件、1000件，此时最大利润为400万元【分析】设分别生产、产品件、件，根据题设条件可得满足的不等式组且利润，利用线性规划可求的最大值及取最大值时对应的的值.【详解】设分别生产、产品件、件，则有依题意有.设利润为，则，要使利润最大，只需求的最大值.作出可行域如图所示（阴影部分及边界）：作出直线：，即
18、，由于向上平移直线时，的值增大，所以在点处取得最大值，由解得，即，因此，此时最大利润（万元）.答：要使月利润最大，需要组装、产品2000件、1000件，此时最大利润为400万元.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率22（1）或；（2）四边形PAMB面积的最小值为，P的坐标为；（3）见解析.【分析】设，连接MP，分析易得，即有，解可得m的值，即可得答案；根据题意，分析易得，又由，当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，设出P的坐标，则有，解
19、可得n的值，进而分析MP的最小值，求出四边形PAMB面积，即可得答案；根据题意，分析可得：过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，设P的坐标为，用m表示过A，P，M三点的圆为，结合直线与圆位置关系，分析可得答案【详解】根据题意，点P在直线l上，设，连接MP，因为圆M的方程为，所以圆心，半径因为过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B；则有，且，易得，又由，即，则，即有，解可得：或，即P的坐标为或；根据题意，则，又由，当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，设此时P的坐标为；有，解可得，即P的坐标为；此时，则四边形PAMB面积的最小值为；根据题意，PA是圆M的切线，则，则过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，设P的坐标为，则以MP为直径的圆为，变形可得：，即；则有，解可得：或；则当、和、时，恒成立，则经过A，P，M三点的圆必过定点，且定点的坐标为和【点睛】本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系以及相交的性质，属于中档题
