1、2015年上海市春季高考模拟试卷三一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1、计算 2、已知函数的定义域为，函数的值域为，则 3、已知正方体的棱长是3，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的大小等于 4、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 开始否是输出S结束i （第7题图）5、已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若, ，则 6、圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积等于 7、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则处应填的自然数为 8、已知函数 (为常数,)，且是方程的解当时，函数值域为 9、若二项
2、式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 （用数字作答）10、已知为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为 11、设函数 ，函数的零点个数为 个12、已知为的外心，,为钝角，是边的中点，则的值等于 二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）13、已知，且，则的值为（ ）A B. C. D. 14、函数的反函数是（ ）A B. C D. 15、下列命题：“”是“存在，使得成立”的充分条件；“”是“存在，使得成立”的必要条件；“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是（ ）A B. C. D. 1
3、6、如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 17、直线的倾斜角等于（ ） 18、已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则等于（ ） 19、若，如果有，则值为（ ） 0 120、正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（ ）2 3 4 5 21、下列命题中正确的是（ ）A.函数与互为反函数 B.函数与都是增函数C.函数与都是奇函数 D.函数与都是周期函数22、数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D.423、直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若(为坐标
4、原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D.24、已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合： 其中所有“集合”的序号是（ ）A. B. C. D.三、解答题25、（本题满分7分）三阶行列式，元素的代数余子式为， 函数的定义域为若求实数的取值范围.26、（本题满分7分）如图，平面，矩形的边长，为的中点若，求异面直线与所成的角的大小27、（本题满分10分）在中，角，所对的边长分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值28、（本题满分12分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并
5、写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由29、（本题满分12分）已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由附加题30、（本题满分8分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时，证明为定值；（2）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线
6、段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由31、（本题满分8分）已知复数，其中，是虚数单位，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求和：；32、（本题满分14分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取， 证明：当（）时，成立； 请再选一个与不同的且大于1的整数，证明：也成立2015年春季高考模拟试卷三参考答案1
7、、1； 2、（0,1）；3、；4、4；5、；6、；7、5；8、；9、9；10、；11、2个；12、5；13-16CDBA 17-20CABC 21-24CABA25、解： =， 若则说明在上至少存在一个值，使不等式成立，即在上至少存在一个值，使成立，令则只需即可. 又当时，从而 由知， 26、解：（1）连，由，得，同理，由勾股定理逆定理得， 由平面，得.由，得平面 取的中点，的中点，连、， ，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小由，得，异面直线与所成的角的大小为27、解：（1），又，（2），即，即，当且仅当时等号成立 ，当时， 28、解：(1)令n=1，则a1=S1=0 a3=2； （2
8、）由，即，得 ，得 于是，+，得，即 又a1=0，a2=1，a2a1=1， 所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 于是， 所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列 于是0，所以此时方程()无正整数解 综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列29、（1）因为点为椭圆上一点，所以， 得 ，椭圆方程为 （2）设, 又，化简得 2分 则， 所以 （定值）（3）因为动点P
9、（x0，y0）满足，即，所以点P的轨迹为焦点的椭圆. 存在点A()、B（），使得=（定值）30、解：（1）过点与抛物线有两个交点，设，由得， （2）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点的纵坐标为，代入得，即由于与互相垂直，将点中的用代，得 设，则消得 由抛物线的定义知存在直线，点，点到它们的距离相等 31、解：（1），由得，数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列， （2）由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列 当，时，当，时，又也满足上式32、解：（1）设，是上的任意两个数，则函数在上是 “凸函数” （2）对于上的任意两个数，均有成立，即，整理得若，可以取任意值若，得，综上所述得（3）当时由已知得成立假设当时，不等式成立即成立那么，由，得即时，不等式也成立根据数学归纳法原理不等式得证比如证明不等式成立由知，有成立，从而得
