1、9.3 直线与平面垂直【知识点精讲】一、(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有： 判定定理: . b, aba；（线面垂直性质定理）,aa（面面平行性质定理），=l，al，aa（面面垂直性质定理）(3)直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a，bab） 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线()(4)点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。 （5）三垂线定理：在平面
2、内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。注意：两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影” 。从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。
3、二、重点难点:掌握直线与平面垂直的判定与性质，正确理解点到平面的距离，会利用上述知识论证和解决有关问题。掌握三垂线定理。三、思维方式: 线线垂直线面垂直线线垂直四、特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。【例题选讲】例1：（1）设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（ ）（A） 有且仅有一条直线与a，b都垂直；（B） 有一个平面与a，b都垂直；（C） 过直线a有且仅有一个平面与b平行；（D） 过空间中任一点必可作一条直线与a，b都相交。（2）已知m，l是直线，是平面，给出下列命题：（A
4、） 若l垂直于内的两条相交直线，则l；（B） 若l平行于，则l平行于内的所有直线；（C） 四面体中最多可以有四个面是直角三角形。（D） 若m且l， 且则ml其中正确命题的是 。（3） ，是两个不同的平面，m ，n是平面及之外两条不同的直线，给出四个论断：（A）mn （B）m （C） （D）n以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。答案：（1）C （2）A C D （3）ABDC 或ACDB例2：如图 ，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD 。证明： 连接MO。DBA A1，DB AC，A A1AC=
5、A，DB平面A A1C1C。又A1O平面A A1C1C，A1ODB。在矩形A A1C1C中， ，=，则=，A1OOM，OMDB=O，A1O平面MBD思维点拨：线线垂直线面垂直。利用勾股定理和三垂线定理证明两直线垂直是常用方法。例3：如图，四边形ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AESB，AGSD。证明：平面AEFGSC，SCAE，又SA平面ABCD，SABC。又ABBC，BC平面SAB，AE平面SAB，BCAE。又AESC，AE平面SBC，AESB。同理可证AGSD。思维点拨：此题意在使学生通过此题掌握证不共面的线线垂直的方法，一
6、般是先证线面垂直，即证 其中一线垂直于过另一线的平面，合理选择平面是解题的关键。例4：如图，在棱长为a 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1与AB的中点。（1）求A1B1与截面A1ECF所成的角；（2）求点B到截面A1ECF的距离。解：（1）由于A1D1E A1AF，D1A1E =AA1F， E A1B1=B1A1F，因此点B1在平面A1ECF上的射影应在 E A1F的平分线上，又四边形A1ECF为菱形，因此，点B1在平面A1ECF上的射影应在直线A1C 上，B1A1C即为A1B1与截面A1ECF所成的角。又，。（2）取A1B1中点G，连接BG，则BGA1F， BG截面A1
7、ECF，因此B到截面的距离等于点G到截面的距离，又G为A1B1的中点。G到截面A1ECF的距离等于B1到截面A1ECF的距离的一半，容易求得B1到截面A1ECF的距离为，因此点B到截面A1ECF的距离为思维点拨：利用三垂线定理证明线线垂直是常用方法，应熟练掌握。例5：如图，ABCD 为直角梯形，DAB=ABC=，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a。（1）求证：PCCD。（2）求点B到直线PC的距离。（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，则ABCE为正方形，CED为等腰直角三角形， AC CD，PA平面ABCD，AC为PC在平面ABCD上的射影， PCCD （2）解：连B
8、E 交AC于O，则BEAC，又BEPA，ACPA= A， BE平面PAC过O作OHPC于H，则BHPC，PA=a，AC=a,PC=a， OH=，BO=a，BH=即为所求。P132 反馈练习1备用：1如图，P 是ABC所在平面外一点，且PA平面ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心，试证：OQ平面PBC。证明： O是ABC的垂心，BCAE。 PA平面ABC，根据三垂线定理得BCPE。BC平面PAE。Q是PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，OQBC。PA平面ABC，BF平面ABC，BFPA，又O是ABC的垂心，BFAC，故BF平面PAC。因而FM是BM在平面PAC内的射影。因为BMP
9、C，据三垂线定理的逆定理，FMPC，从而PC平面BFM。又OQ平面BFM，所以OQPC。 综上知 OQBC，OQPC，所以OQ平面PBC。 思维点拨：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。备用：2如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。（1）A1B1平面BB1C1C；（2）求证：A1CBC1；（3）求证：DE平面BB1C1C。证明：（1）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，侧面与底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1
10、C1从而A1B1平面BB1C1C。 （2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C，而A1B1平面BB1C1C， A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1CBC1 （3）直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，D为A1C的中点，E为B1C的中点，DEA1B1，而由（1）知A1B1平面BB1C1C，DE平面BB1C1C。思维点拨：选择恰当方法证明线面垂直。【课堂小结】1. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。2. 注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。3. 距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算”是立体几何计算题不可缺少的步骤。4.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。【作业布置】p132 3、4、5、6、7
