1、第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域3,8线性目标函数的最值1,2,5,6,15非线性目标函数的最值7,12含参数的线性规划问题4,13,14线性规划的实际应用与综合应用9,10,11基础巩固(时间:30分钟)1.(2017河北唐山三模)若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为(C)(A)4(B)-1(C)-2(D)-3解析:作出不等式组表示的平面区域如图所示,平移直线y=-2x+z可知,目标函数z=2x+y在点A(-1,0)处取得最小值,最小值为z=-2.故选C.2.(2017山东日照三模)已知实数x,
2、y满足不等式组则2x-y的取值范围是(C)(A)-1,3(B)-3,-1(C)-1,6(D)-6,1解析:设z=2x-y,则y=2x-z,作出不等式组表示的平面区域(阴影部分)如图.平移直线y=2x,由图象可知当直线y=2x-z经过点B(0,1)时,直线y=2x-z的截距最大,此时z最小,zmin=0-1=-1,当直线y=2x-z经过点C(3,0)时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大,zmax=23=6,即-12x-y6.故选C.3.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:作出可行域,求出点的坐标A(0,),B(1,1)
3、,C(0,4),因为y=kx+恒过点A(0,),所以当直线y=kx+经过BC的中点时,直线将平面区域分成面积相等的两部分,则=k+,解得k=.故选C.4.导学号 94626178(2017广东揭阳二模)已知实数x,y满足不等式组若z=-x+2y的最大值为3,则a的值为(A)(A)1(B)(C)2(D)解析:作出不等式组表示的可行域如图所示,由图可知目标函数z=-x+2y经过点A时,取得最大值,联立解得A(a-2,a),代入目标函数得-a+2+2a=3,a=1.故选A.5.导学号 94626179(2018福建福州一中质检)若实数x,y满足不等式组则z=2|x|+y的最大值为(B)(A)13 (
4、B)11(C)3 (D)1解析:作出不等式组表示的可行域如图所示:z=2|x|+y的取值范围即y=-2|x|+z中z的取值范围,由图可以看出最大值为经过(6,-1)时取得,此时z=11.故选B.6.已知x,y满足则z=-3x+y的最小值为.解析:画出可行域为阴影部分.z=-3x+y,即y=3x+z过交点A时,z最小.解得即A(1,3),所以zmin=-31+3=0.答案:07.(2017河北石家庄二中三模)已知变量x,y满足约束条件则x2+y2+2(x-y)的最小值为.解析: 作出可行域如图,一个三角形ABC及其内部,其中A(,),B(3,3),C(,-),而x2+y2+2(x-y)=(x+1
5、)2+(y-1)2-2表示可行域内点P到定点D(-1,1)距离的平方减去2,所以最小值为|DA|2-2=(-1-)2+(1-)2-2=-2=.答案:8.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为.解析:如图可得阴影部分即为满足x-10与x+y-10的可行域,而直线ax-y+1=0恒过点(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2,则它是三角形,设该三角形为ABC,因为A(0,1)和B(1,0),且SABC=2,设C(1,y),则1y=2y=4,将点C(1,4)代入ax-y+1=0得a=3.答案:3能力提升(时间:15
6、分钟)9.某校组织学生参加研学拓展活动,需要租用客车安排600名师生乘车,旅行社有甲乙两种型号的客车,载客量分别为24人/辆和40人/辆,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,学校要求租车不超过21辆,且乙型号客车不多于甲型号客车7辆,则租金最少为(C)(A)31 200(B)36 000(C)36 800(D)38 400解析:由题可设需甲车x辆,乙车y辆,则作出不等式组表示的可行域如图所示,则目标函数z=1 600x+2 400y=800(3y+2x)在点B(5,12)时取到最小值36 800.故选C.10.(2017安徽安庆一中三模)已知实数x,y满足条件则z=y-()x的最大值
7、为(C)(A)-(B)0(C)(D)1解析:z=y-()x,即y=()x+z,由图象可知当曲线y=()x+z经过点A(1,1)时,z取得最大值,即z=y-()x=1-=.故选C.11.(2017四川成都九校联合模拟)已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最小值为2,则+的最小值为(A)(A)2+(B)5+2(C)8+(D)2解析:作出不等式组表示的可行域如图所示,则目标函数z=ax+by(a0,b0),即y=-x+.当过点A(1,1)时目标函数取得最小值2,即a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(+4)(2+4)=2+,当且仅当=时,即b=a时等号成立,所以+的最
8、小值为2+.故选A.12.若x,y满足约束条件则|2x-y+4|的最小值为.解析:作出可行域如图中阴影部分所示.|2x-y+4|的意义为(x,y)到直线2x-y+4=0距离的倍,由图知A(1,3)到直线2x-y+4=0距离最小,为=,则|2x-y+4|的最小值为3.答案:313.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为.解析:由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0AB或l0AC时符合题意,故a=-1或a=2.答案:-1或214.若实数x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是.解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,要使目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值.当a0时,-1即a2得0a2;当a0时,-6.即-6a0.综上-6a2.答案:(-6,2)15.(2017郑州第二次质量预测)已知实数x,y满足设b=x-2y,若b的最小值为-2,则b的最大值为.解析:画出可行域,如图阴影部分所示.由b=x-2y得,y=x-.易知在点(a,a)处b取最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b取最大值,于是b的最大值为2+8=10.答案:10
