1、理科数学第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则=ABCD2已知复数z满足，则 A1BCD23某公司生产，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则 A96B72C48D364已知向量，的夹角为，且，则 AB3CD5为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度6若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为 AB1
2、C2D07(+)(2-)5的展开式中33的系数为A-80B-40C40D808已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为 ABCD39若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 A0BCD10某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是A B C D11已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ABCD12函数在区间上的零点个数为 A2B3C4D5第II卷 非选择题（90分）二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知直线：，：，且，则k的值_.14不等式在区间上的解集为_15已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，若
3、，则双曲线的离心率为_.16已知函数（）为奇函数，若函数与图像的交点为，则=_.三、解答题三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17（12分）的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.18（12分）2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为万元/辆和万元/辆的两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如下：（1）填写下表，并判断是否有的把握认为出租车的使用
4、寿命年数与汽车车型有关？（2）从和的车型中各随机抽取车，以表示这车中使用寿命不低于年的车数，求的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司万元，其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819 （12分）如图，在三棱柱中，平面，分20 别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；20（12分）已知定点S( -2，0) ，T(2
5、，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.21（12分）已知函数，.（1）求的极值； （2）若方程有三个解，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线C
6、的极坐标方程；（2）曲线C与直线l交于A、B两点，若，求k的值.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知，且（1）求证：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围理科数学参考答案1C2C3B4C5D6C7C8C9C10B11B12C131415或163m17（1）由正弦定理得： ，又 ，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号） 即三角形面积的最大值为：18（1）填表如下：使用寿命不高于年使用寿命不低于年总计型3070100型5050100总计80120200由列联表可知，故有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）由题意可知，型车使用寿命不低于年的车数占，低于年的车数占；型
7、车使用寿命不低于年的车数占，低于年的车数占.且可能的取值为.，的分布列为：012其数学期望.（3）用频率估计概率，这辆款出租车的平均利润为：（万元），这辆款出租车的平均利润为：（万元），故会选择采购款车型.19解：（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形.又分别为的中点，又，平面，平面平面.（2）由（1）知，由平面，平面.如图建立空间直角坐称系.由题意得设平面的法向量为，令，则，平面的法向量，又平面的法向量为，.所以二面角的余弦值为.20（1）设，由已知有， 整理得动点P的轨迹E的方程为（2）由（1）知，的方程为，所以又，所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则.设的斜率为，则，所以.设的方
8、程为，.由，得， 由，得，.因为，所以，因为，所以，即，整理得，所以，整理得，解得或，当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；当时，满足，所以存在直线：，使得是的垂心.21（1）的定义域为，当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，当时，所以无极值，当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.（2）设，即，.若，则当时，单调递减，当时，单调递增，至多有两个零点.若，则，（仅）.单调递增，至多有一个零点.若，则，当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.若，则.当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，由，得，由及，得，.并且，当时，.综上，使有三个零点的的取值范围为.22（1），所以曲线的极坐标方程为. （2）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，代入曲线得设所对应的极径分别为.， 满足，或的倾斜角为或，则或23解：（1）由柯西不等式得，当且仅当时取等号；（2），要使得不等式恒成立，即可转化为，当时，可得，当时，可得，当时，可得，的取值范围为：
