1、课后限时集训(五十三)直线与椭圆建议用时:40分钟一、选择题1直线yx2与椭圆1有两个公共点,则m的取值范围是()A(1,) B(1,3)(3,)C(3,) D(0,3)(3,)B由得(3m)x24mxm0,由题意可知解得又m0,且m3,m1且m3.故选B2过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A B C DB由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y2x2.联立 解得交点坐标为(0,2),不妨设A点的纵坐标yA2,B点的纵坐标yB,SOAB|OF|yAyB|1.3(2020沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C:1,过点P(2,
2、1)的直线交椭圆于A,B两点,若P为线段AB中点,则|AB|()A B C DD设点A(x1,y1),点B(x2,y2),x1x24,y1y22,由两式相减得:0,化简得:1,直线AB的斜率为1,又直线AB过点P(2,1),直线AB的方程为:y1(x2),即yx3,联立方程消去y得3x212x100,x1x24,x1x2,|AB|,故选D4已知椭圆C:1(ab0)与直线yx3只有一个公共点,且椭圆的离心率为,则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1B将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20,由椭圆与直线只有一个公共点得,(6a2)24(a2b2)(9a2a2
3、b2)0,化简得a2b29,则,解得a25,b24,所以椭圆的方程为1.5直线l过椭圆y21的左焦点F,且与椭圆交于P,Q两点,M为PQ的中点,O为原点,若FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的斜率为()A B C DB由y21,得a22,b21,所以c2a2b2211,则c1,则左焦点F(1,0)由题意可知,直线l的斜率存在且不等于0,设直线l的方程为ykxk.设l与椭圆交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得(2k21)x24k2x2k220.则PQ的中点M的横坐标为.因为FMO是以OF为底边的等腰三角形,所以,解得k.6倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F,与椭圆交
4、于A,B两点,且2,则该椭圆的离心率为()A B C DB由题意可知,直线的方程为yxc,与椭圆方程联立得(b2a2)y22b2cyb40,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则又2,(cx1,y1)2(x2c,y2),y12y2,可得,e,故选B二、填空题7过椭圆C:1的左焦点F作倾斜角为60的直线l与椭圆C交于A,B两点,则等于 由题意可知F(1,0),故l的方程为y(x1)由得5x28x0,x0或.A(0,),B.又F(1,0),|AF|2,|BF|,.8(2020碑林区一模)在平面直角坐标系中,动点P在椭圆C:1上运动,则点P到直线xy
5、50的距离的最大值为 5设P(4cos ,3sin ),02,点P到直线xy50的距离为d,所以dmax5.9已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50,弦的中点坐标是M(4,1),则椭圆的离心率为 设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yMxM,代入k1,M(4,1),解得,e.三、解答题10设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求椭圆C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|5|F1N|,求a,b的值解(1)易知M,
6、由得2b23ac,故2(a2c2)3ac,解得,2(舍去). 故椭圆的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点, MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点故4,即b24a.由|MN|5|F1N|,得|DF1|2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y10,则即代入C的方程,得1.将及c代入得1.解得a7,b24a28.故a7,b2.11(2020汨罗市一模)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:ykxm(k0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点(1,0),求实数k的取值范围解(1)由
7、题意可知解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将ykxm代入椭圆方程,消去y得(14k2)x28kmx4m240,所以(8km)24(14k2)(4m24)0,即m24k21,由根与系数关系得x1x2,则y1y2, 所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l的方程为y(x1),由点P在直线l上,得,即4k23km10,所以m(4k21),由得4k21,4k210,4k219k2,所以k2,即k或k,所以实数k的取值范围是.1.(2020襄阳模拟)如图,已知椭圆C:1(ab0),斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,平行四边形OAMB(O为坐标
8、原点)的对角线OM的斜率为,则椭圆的离心率为()A B C DB设lAB方程yxm,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),由得(a2b2)x22ma2xa2m2a2b20,又由平行四边形OAMB可知:x0x1x2,y0,故kOM,所以离心率e,故选B2已知椭圆C:x21,直线l:yxm,若椭圆C上存在两点关于直线l对称,则m的取值范围是()A BC DC设椭圆x21上存在关于直线yxm对称的两点为M(x1,y1),N(x2,y2),根据对称性可知线段MN被直线yxm垂直平分,且MN的中点T(x0,y0)在直线yxm上,且kMN1,故可设直线MN的方程为yxn,联立整理可得3x2
9、2nxn220,所以x1x2,y1y22n(x1x2)2n,由4n212(n22)0,可得n,所以x0,y0,因为MN的中点T(x0,y0)在直线yxm上,所以m,m,m,故选C3已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0),F2(1,0),且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若2,求直线l的斜率k的值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0),由解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0),联立整理得y2y90,则1440,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2,y1y2,又2,所以y12y2,所
10、以y1y22(y1y2)2,则34k28,解得k,又k0,所以k.1(2020湖州模拟)已知直线xmy2(mR)与椭圆1相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ;若|AB|,则实数m的值是 1易知直线xmy2恒过点(2,0),而点(2,0)恰为椭圆1的右焦点,则|AB|的最小值即为通径长,联立,消去x得,(5m29)y220my250,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2,y1y2,则|AB|,解得m1.2已知椭圆C:1(ab0)过点P(2,),且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形(1)求椭圆C的方程;(2)过(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,试问:是否存在一个定点
11、T,使得以线段AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由解(1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,所以ab.所以椭圆C的方程为1.又椭圆C经过点P(2,),代入椭圆方程得b3.所以a3.故所求椭圆方程为1.(2)由已知动直线l过(0,1)点当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2(y1)216;当l与y轴重合时,以AB为直径的圆的方程为x2y29.所以两圆相切于点(0,3),即两圆只有一个公共点因此,所求点T如果存在,只能是点(0,3)以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点T(0,3)当l与x轴不垂直时,设l:ykx1.由得(2k21)x24kx160.由(0,1)在椭圆内部知0成立设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.又(x1,y13),(x2,y23),所以x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)4k160.所以TATB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)所以存在一个定点T(0,3)满足条件.