1、高考资源网（） 您身边的高考专家3弧度制学 习 目 标核 心 素 养1.了解角的另外一种度量方法弧度制2能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算(重点)3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点)1.通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养2通过角度制和弧度制的换算及弧长公式和面积公式的应用，培养数学运算素养1弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制(2)角度制与弧度制的互化弧度数()正角的弧度数是一个正数；()负角的弧度数是一个负数；()零角的弧度数是0；()弧度数与十进制实数间存在一一对应
2、关系弧度数的计算|如图：角度制与弧度制的换算一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时， 同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关2弧长公式与扇形面积公式已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，为圆心角的弧度数角度制弧度制弧长公式ll|r扇形面积公式SSlr|r2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？提示设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则Slr，lr.1
3、下列说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小是2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误2时针经过一小时，时针转过了()A radB radC rad D radB时针经过一小时，转过30，又30 rad，故选B.3若5，则角的终边在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限D25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则5也是第一象限角4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4C1或4 D2或4C设扇形半径为r，圆心角
4、弧度数为，则由题意得或角度与弧度的互化【例1】设1510，2750，1，2.(1)将1，2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将1，2用角度表示出来，并在360360范围内找出与它们终边相同的所有的角解(1)1 rad，1510510，2750750.1的终边在第二象限，2的终边在第四象限(2)1144.设1k360144(kZ).3601360，360k360144360.k1或k0.在360360范围内与1终边相同的角是216.2330.设2k360330(kZ).3602360，360k360330360.k0或k1.在360360范围内与2终边相同的角是30.角度制与弧
5、度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180 rad，充分利用1 rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn rad.(3)注意点：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数；度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度1将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)2020 rad rad.(2)1515 rad rad.(3) rad180105.(4) rad180396.用弧度制表示终边相同的角【例2】(1
6、)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0)，且与(1)中终边相同，求.解(1)1 48010，02，1 480252(5).(2)与终边相同，2k，kZ.又4，0)，1，2.1根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形；(2)写出区间边界对应的角；(3)用不等式表示区域范围内的角2注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错2(1)把1 125化为2k(kZ，02)的形式是()A6B6C8 D8(2)在0720范围内，找出与角终边相同的角(1)D因为1 1254360315，315315，所以1 1258.(2)解：因为
7、472072，所以与角终边相同的角构成集合|72k360，kZ当k0时，72；当k1时，432，所以在0720范围内，与角终边相同的角为72，432.弧长公式与面积公式的应用探究问题1扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？提示|.2扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？提示Slr.【例3】一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数思路探究解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.1(变条件)将例3中的条件改为“扇形的面积为4，周长为10，试求圆心角(02)的弧度数解设弧长为l，扇形半径为
8、r，由题意得：解得或(舍)故(rad)，即扇形的圆心角为 rad.2(变条件，变结论)将例3的条件改为“已知扇形的周长为40 cm”问：当它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？解设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r，Slr(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时2(rad).当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表
9、示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()(2)1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.()(3)180等于弧度()答案(1)(2)(3)272化为弧度是()ABCDB7272.3化为角度为_345345.4设集合M，N|，则MN_由，得k.因为kZ，所以k1，0，1，2，所以MN.5在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_弧度，扇形面积是_48| rad，Slr12848.- 9 - 版权所有高考资源网
