1、综合学业质量标准检测(二)本检测仅供教师备用，学生书中没有时间120分钟，满分150分一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019衡水中学高二检测)已知a，bR，且2ai，bi(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2pxq0的两个根，那么p，q的值分别是(A)Ap4，q5Bp4，q3Cp4，q5Dp4，q3解析分别将2ai，bi代入方程得：对整理由复数相等的条件得：解得p4，q5.本题也可以用“韦达定理”求解：2aibip，(2ai)(bi)q由复数相等的条件对整理得：故选A2曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是
2、(D)Ay7x4Byx4Cy7x2Dyx2解析y|x1(43x2)|x11，切线方程为y3x1，即yx2.3用反证法证明“若abc0，xln(k1)，仅当k0时，x0Z，因此函数yex1是一阶格点函数对于，注意到函数yx2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数yx2不是一阶格点函数综上所述知选C7设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列各点一定在y轴上的是(A)A(b，a)B(a，c)C(c，b)D(ab，c)解析f (x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根，则110，所以b0.故选A8已知函数f(x)(xR)满足f(2)
3、3，且f(x)在R上的导数满足f (x)10，则不等式f(x2)x21的解集为(C)A(，)B(，)C(，)(，)D(，)解析令g(x)f(x)x，则g(x)f (x)10，g(x)在R上单调递减由f(x2)x21，得f(x2)x21，即g(x2)1.又g(2)f(2)21，g(x2)2，解得x或x.故选C二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知复数zxyi(x，yR)，则(CD)Az20Bz的虚部是yiC若z12i，则x1，y2D|z|解析对于A选项，取zi，则z210，A选
4、项错误；对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；对于C选项，若z12i，则x1，y2，C选项正确；对于D选项，|z|，D选项正确故选CD10如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间(3，)内单调递增；函数yf(x)在区间(，3)内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断中不正确的是(ABD)ABCD解析对于，函数yf(x)在区间(3，)内有增有减，故不正确；对于，函数yf(x)在区间(，3)有增有减，故不正确；对于，函数yf(x)当x(4,5)时，恒有f(x)0.故正确；
5、对于，当x2时，函数yf(x)有极大值，故不正确；对于，当x时，f(x)0，故不正确故选ABD11在复平面内，下列说法正确的是(AD)A若复数z(i为虚数单位)，则z301B若复数z满足z2R，则zRC若复数zabi(a，bR)，则z为纯虚数的充要条件是a0D若复数z满足|z|1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆解析对于A：zi，i21，i41，所以z30i30i472i21，故A正确；对于B：设zabi，a，bR，所以z2(abi)2a2b22abi，若z2R，则2ab0，则a0，b0或b0，a0或ab0，当b0时zR，故B错误；复数zabi(a，bR)，则z为纯虚数的充
6、要条件是a0且b0，故C错误；若复数z满足|z|1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；故选AD12如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的有(BC)A在(2,1)上f(x)是增函数B在(3,4)上f(x)是减函数C在x1处取得极小值D在x1处取得极大值解析根据导函数的正负，得到原函数的增减性，由图可得如下数据，x(3，1)1(1,2)2(2,4)4(4，)f(x)00f(x)极小值极大值极小值故在(3,4)上f(x)是减函数，在x1处取得极小值，正确的有BC；故选BC三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上
7、)13(2019浙江卷，11)复数z(i为虚数单位)，则|z|_.解析zi，易得|z|.14(2019天津卷文，11)曲线ycos x在点(0,1)处的切线方程为_yx1_.解析ysin x，将x0代入，可得切线斜率为.所以切线方程为y1x，即yx1.15如图，矩形ABCD中曲线的方程分别为ysin x，ycos x，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_P_.解析阴影部分的面积为S12 (cos xsin x)dx2(sin xcos x) 22，故所求概率为P.16若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_1ln2_.解析设ykxb与ylnx2和y
8、ln(x1)的切点分别为(x1，lnx12)和(x2，ln(x21)则切线分别为ylnx12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxlnx11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而blnx111ln2.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)设为复数z的共轭复数，满足|z|2.(1)若z为纯虚数，求z；(2)若z2为实数，求|z|.解析(1)设zbi(bR，且b0)，则bi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，所以b，所以zi.(2)设zabi(a，bR)，则abi，因为|z|2，则|2bi|2，即|b|，z2a
9、bi(abi)2aa2b2(b2ab)i.因为z2为实数，所以b2ab0，因为|b|，所以a，所以|z|.18(本题满分12分)已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：，不可能构成等差数列解析假设，能构成等差数列，则得，于是得bcab2ac.而由于a，b，c构成等差数列，即2bac.所以由两式得，(ac)24ac，即(ac)20，于是得abc，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾故假设不成立，因此，不能构成等差数列19(本题满分12分)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值解析f(x)cosxsinx1sin(x)1(0x1时，f(x)0
10、，所以f(x)在1，e上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明：令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，所以F(x)x2x2因为x1，所以F(x)0，所以F(x)在(1，)上是减函数，所以F(x)F(1)0.所以f(x)g(x)所以当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方22(本题满分12分)(2019北京卷理，19)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x.(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解析(1)由f(x)x3x2x得f (x)x22x1.令f (x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2,0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.
