1、素养专题(一)有关x与ex、ln x的组合函数授课提示：对应学生用书第48页在函数的综合问题中，常以x与ex，ln x组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图像与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查法1有关x与ln x的组合函数综合题1熟悉函数f(x)h(x)ln x(h(x)ax2bxc(a，b不能同时为0)的图像特征，做到对如图中两个特殊的函数的图像“有形可寻”2熟悉函数f(x)
2、(h(x)ax2bxc(a，b不能同时为0)，h(x)0)的图像特征，做到对如图中两个特殊的函数的图像“有形可寻”例1设函数f(x)xln xax(aR)(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a2，kN，g(x)22xx2，且当x2时不等式k(x2)g(x)f(x)恒成立，试求k的最大值思路点拨(1)将原问题转化为两个函数图像的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1ax1ln xax，令f(x)0，可得ln xax0，a，令h(x)(x0)，则由
3、题可知直线ya与函数h(x)的图像有两个不同的交点，h(x)，令h(x)0，得xe，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，h(x)maxh(e)，当x0时，h(x)，当x时，h(x)0，故实数a的取值范围为(0，)(2)当a2时，f(x)xln xx22x，k(x2)g(x)f(x)，即k(x2)22xx2xln xx22x，整理得k(x2)xln xx，因为x2，所以k，设F(x)(x2)，则F(x)，令m(x)x42ln x(x2)，则m(x)10，所以m(x)在(2，)上单调递增，m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln 1062ln e3660，
4、所以函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，即x042ln x00，故当2xx0时，m(x)0，即F(x)0，当xx0时，F(x)0，所以F(x)minF(x0)，所以k，因为x0(8，10)，所以(4，5)，故k的最大值为4.思维剖析1.极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解2对于有关x与ln x的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等
5、基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略法2有关x与ex的组合函数综合题1熟悉函数f(x)h(x)eg(x)(g(x)为一次函数，h(x)ax2bxc(a，b不能同时为0)的图像特征，做到如图中两个特殊的函数的图像“有形可寻”2熟悉函数f(x)(h(x)ax2bxc(a，b不能同时为0)，h(x)0)的图像特征，做到如图中两个特殊的函数的图像“有形可寻”例2已知函数f(x)a(x1)，g(x)(ax1)ex，aR.(1)证明：存在唯一实数a，使得直线yf(x)和曲线yg(x)相切；(2)若不等式f(x)g(x
6、)有且只有两个整数解，求a的取值范围思路点拨(1)设切点的坐标为(x0，y0)，然后由切点既在直线上又在曲线上得到关于x0的方程，再构造函数，从而通过求导研究新函数的单调性使问题得证；(2)首先将问题转化为a(x)1，然后令m(x)x，再通过求导研究函数m(x)的单调性，求得最小值，从而分a0，0a1，a1三种情况来讨论，进而求得a的取值范围解析(1)证明：设直线yf(x)和曲线yg(x)的切点的坐标为(x0，y0)，则y0a(x01)(ax01)ex0，得a(x0ex0x01)ex0，又直线yf(x)和曲线yg(x)相切，所以ag(x0)(aax01)ex0，整理得a(x0ex0ex01)e
7、x0，结合得x0ex0x01x0ex0ex01，即ex0x020，令h(x)exx2，则h(x)ex10，所以h(x)单调递增又h(0)10，h(1)e10，所以存在唯一实数x0，使得ex0x020，且x0(0，1)，所以存在唯一实数a，使两式成立，故存在唯一实数a，使得直线yf(x)与曲线yg(x)相切(2)令f(x)g(x)，即a(x1)(ax1)ex，所以axexaxaex，所以a(x)1，令m(x)x，则m(x)，由(1)可得m(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，且x0(0，1)，故当x0时，m(x)m(0)1，当x1时，m(x)m(1)1，当xZ时，m(x)1.当a
8、0时，am(x)1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；当0a1时，m(x)，又1，m(0)m(1)1，所以两个整数解分别为0，1，即解得a，即a，1)，当a1时，m(x)，因为1，m(x)在xZ时大于或等于1，所以m(x)无整数解，舍去综上，a的取值范围为，1)思维剖析1.涉及函数的零点的个数问题、方程解的个数问题、函数图像的交点个数问题时，一般先通过导数研究函数的单调性，最大值，最小值等，再借助函数的大致图像判断零点，方程的根，函数图像的交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值等2在求解有关x与ex的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新组合、分拆，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值3以形助数、数形沟通，实现数形结合，形象直观地得出结论，体现了直观想象等数学核心素养
