1、2022精编复习题（四十三） 椭 圆小题对点练点点落实对点练(一)椭圆的定义和标准方程1若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21B.1C.y21或1D以上答案都不对解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，a25，所求椭圆的标准方程为1.2已知椭圆C：1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|()A4B8 C12D16解析：选B设MN的中点为D，椭圆C的左、
2、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是MAN的中位线，则|DF1|AN|，同理|DF2|BN|，所以|AN|BN|2(|DF1|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8.3已知三点P(5,2)，F1(6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为()A3B6 C9D12解析：选B因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a，|PF2|，|PF1|5，所以2a6，即a3，c6，则b3，故椭圆的短轴长为6，故选B.4.如图，已知椭圆C的中心为原点O，
3、F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选B设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.5已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A，B，则ABM的周长为_解析：M(，0)与F(，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆的左焦点F(
4、，0)，且|AB|AF|BF|，ABM的周长等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8.答案：86若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_解析：因为方程1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|1a30，解得3ab0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选B由题意知|OA|AP|b，|OP|a，OAAP，所以2b2a2，即，故e，故选B.2已知F1，F2为椭圆C：1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，的最大值、最小值分别为()A9,7B8,
5、7C9,8D17,8解析：选B由题意知F1(1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，所以x21y2x218x2x27(3x3)，所以当x0时，有最小值7；当x3时，有最大值8.故选B.3焦点在x轴上的椭圆方程为1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为()A.B. C.D.解析：选C短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S2cb(2a2c)，整理得a2c，即e.故选C.4已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线
6、l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，而e ，所以0e.5已知椭圆1(0bb0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1k2|，则椭圆的离心率为_解析：设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，|k1k2|，从而e .答案：7已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆若点P是圆O上的动点，则|PF1|2|PF2|2的值是_解析：由
7、椭圆方程可知a24，b21，c2413，c，a2，b1.F1(，0)，F2(，0)圆O的方程为x2y21.设P(x0，y0)，则xy1.|PF1|2|PF2|2(x0)2y(x0)2y2(xy)68.答案：88.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_ 解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为B2A2，F2B1所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，即b2ac，则a2c2ac，故210，即e2e10，e或e，又0e1，所以e1.答案：大题综合练迁移
8、贯通1已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2， ，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.2设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦
9、点，M是C在第一象限上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c及题设知M，由kMNkMF1，得，即2b23ac.将b2a2c2代入，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB
10、|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，设直线l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e .(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.
