1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第三章 三角函数、解三角形第三节 三角函数的图象与性质 考纲传真 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，_，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)，2，0，_，32，0，(2，1)32，1(，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图
2、象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxk2，kZ值域_R1,11,1单调性递增区间：2k2，2k2kZ，递减区间：2k2，2k32kZ递增区间：2k，2kkZ，递减区间：2k，2kkZ递增区间k2，k2(kZ)奇偶性_奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)kZ对称中心k2，0 kZ对称中心k2，0 kZ对称性对称轴x_对称轴x_周期性22k(kZ)k2(kZ)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数函数 f(x)a 是周期函数，它没有最小正周期()(2)函数 ysin x 的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(3)正切函数 yta
3、n x 在定义域内是增函数()(4)ysin|x|是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2(2017云南二次统一检测)函数 f(x)cos2x52 的图象关于()A原点对称By 轴对称C直线 x52 对称D直线 x52 对称A 函数 f(x)cos2x52 sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选 A.3函数 ytan 2x 的定义域是()A.xxk4，kZB.xxk2 8，kZC.xxk8，kZD.xxk2 4，kZD 由 2xk2，kZ，得 xk2 4，kZ，ytan 2x 的定义域为xxk2 4，kZ.4(2017长沙模拟(一)函数 ysin12x3，x2，2的单调递增区间是(
4、)A.2，53B.2，53 和3，2C.53，3D.3，2C 令 z12x3，函数 ysin z 的单调递增区间为2k2，2k2(kZ)，由 2k212x32k2得 4k53 x4k3，而 x2，2，故其单调递增区间是53，3，故选 C.5(教材改编)函数 f(x)42cos 13x 的最小值是_，取得最小值时，x 的取值集合为_2 x|x6k，kZ f(x)min422，此时，13x2k(kZ)，x6k(kZ)，所以 x 的取值集合为x|x6k，kZ三角函数的定义域与值域(1)(2016全国卷)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为()A4 B5 C6 D7(2)函数 ylg(s
5、in 2x)9x2的定义域为_(1)B(2)3，2 0，2 (1)f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x12sin2x6sin x2sin x322112，又 sin x1,1，当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B.(2)由sin 2x0，9x20，得kxk2，kZ，3x3，3x2或 0 x2，函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为3，2 0，2.规律方法 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x
6、的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin xcos x 换成 t，转化为二次函数求解变式训练 1(1)已知函数 y2cos x 的定义域为3，值域为a，b，则ba 的值是()A2 B3 C.32 D2 3(2)求函数 ycos2xsin x|x|4 的最大值与最小值.【导学号：31222113】(1)B x3，cos x1，12，故 y2cos x 的值域为2,1，ba3.(2)令 tsin x，|x|4，t 22，22，3 分yt2t1t12254，当 t1
7、2时，ymax54，当 t 22 时，ymin1 22，7 分函数 ycos2xsin x|x|4 的最大值为54，最小值为1 22.12 分三角函数的单调性(1)(2017洛阳模拟)已知 0，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D(0,2(2)函数 f(x)sin2x3 的单调减区间为_(1)A(2)k 12，k512(kZ)(1)由2x 得24x44，由题意知24，4 2，32，所以242，432，解得1254.(2)由已知函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3 的单调增区间即可由 2k22x
8、32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.故所求函数的单调减区间为k 12，k512(kZ)规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”(2)求形如 yAsin(x)(0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解若 0，应先用诱导公式化 x 的系数为正数，以防止把单调性弄错2已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解变式训练 2(1)函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是_(2)若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单
9、调递减，则 _.【导学号：31222114】(1)k2 12，k2 512(kZ)(2)32(1)由2k2x32k(kZ)，得k2 12xk2 512(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当 0 x2，即 0 x 2时，ysin x 是增函数；当2x32，即 2x32时，ysin x 是减函数由 f(x)sin x(0)在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减知，23，32.三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度 1 奇偶性与周期性的判断(1)(2014全国卷)在函数：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4 中，最小正周期为 的所有函数为()ABCD(2)函
10、数 y12sin2x34 是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数(1)C(2)A(1)ycos|2x|cos 2x，T.由图象知，函数的周期 T.T.T2.综上可知，最小正周期为 的所有函数为.(2)y12sin2x34 cos 2x34 sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数角度 2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016 安 徽 江 南 十 校 3 月 联 考)已 知 函 数 f(x)sin(x)0，|2 的最小正周期为 4，且对任意 xR，都有 f(x)f3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心的坐标是()A.
11、23，0B.3，0C.23，0D.53，0A 由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得 12.因为 f(x)f3 恒成立，所以 f(x)maxf3，即12322k(kZ)，32k(kZ)，由|2，得 3，故 f(x)sin12x3.令12x3k(kZ)，得 x2k23(kZ)，故 f(x)图象的对称中心为2k23，0(kZ)，当 k0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为23，0，故选 A.角度 3 三角函数对称性的应用(1)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2(2)已知函数 f(x)sin xacos x 的图象
12、关于直线 x53 对称，则实数 a 的值为()A 3 B 33 C.2 D.22(1)A(2)B(1)由题意得 3cos243 3cos23 2 3cos23 0，23 k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.(2)由 x53 是 f(x)图象的对称轴，可得 f(0)f103，即 sin 0acos 0sin103 acos103，解得 a 33.规律方法 1.对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0 或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断2求三角函数周期的方法：(
13、1)利用周期函数的定义(2)利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.(3)借助函数的图象思想与方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式，再用换元法令 tx，将其转化为研究 ysin t 的性质2求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为 yAsin(x)k 的形式，逐步分析 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)(2)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题3若 f(x)Asin(x)(A0，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ)易错与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求 yAsin(x)(A0)的单调区间，要注意 的正负，只有当 0 时，才能将“x”整体代入相应单调区间3利用换元法求三角函数最值时，注意 cos x(或 sin x)的有界性4正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形课时分层训练（十九）点击图标进入
