1、本讲优化总结比较法证明不等式比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差基本步骤是作差(商)变形判断结论，关键是变形，变形的目的是判号(与1的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等若x，y，zR，a0，b0，c0.求证：x2y2z22(xyyzzx)【证明】因为x2y2z22(xyyzzx)0，所以x2y2z22(xyyzzx)成立设a，b为实数，0n1，0m0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【证明】(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4a
2、b(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.1.设a0，b0，ab1，求证：8.证明：因为a0，b0，ab1，所以1ab2，所以4.所以(ab)2248，所以8，当且仅当ab时，等号成立2已知a0，b0，且ab1，求证： 2.证明：要证 2，只要证4.即证ab124.只要证1.也就是要证ab(ab)1，即证ab.因为a0，b0，ab1.所以1ab2，所以ab，即上式成立故 2.反证法证明不等式反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：(1)分清命题的条件和结论，作出与命
3、题结论相矛盾的假定命题(否定结论)；(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾；(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确，于是原命题成立从而间接证明了原命题为真命题已知：在如图所示的ABC中，BAC90，D是BC的中点求证：ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BDAB.同理CCAD.所以BCBADCAD，即BCBAC.因为BC180BAC，所以180BACBAC，则BAC90，与已知矛盾由(1)(2)知AD0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与
4、b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立放缩法证明不等式用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不小于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头同时，放缩有时需便于求和求证：11)【证明】由(k是大于2的自然数)，得11113m时，求证：m，|x|a|，|x|b|，|x|1，所以112.故b0，求证.证明：要证，即证，只需证ab2ab，只需证0b0知最后一个不等式成立，故原不等式成立2已知关于x的方程1，其中a，b为实数(1)若x1i是该方程的根，求a，b的值；(2)当且a0时，证明：该方程没有实数根解：(1)将x1i代入1，化简得i1，所以所以ab2.(2)证明：原方程化为x2axab0，假设原方程有实数解，那么(a)24ab0即a24ab，因为a0，所以，这与题设矛盾，所以假设错误，原方程有实数根
