1、第一讲 坐标系二、极坐标A级基础巩固一、选择题1在极坐标系中,点M的位置,可按如下规则确定()A作射线OP,使xOP,再在射线OP上取点M,使|OM|2B作射线OP,使xOP,再在射线OP上取点M,使|OM|2C作射线OP,使xOP,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|2D作射线OP,使xOP,再在射线OP上取点M,使|OM|2解析:当0时,点M(p,)的位置按下列规定确定:作射线OP,使xOP,在OP的反向延长线上取|OM|,则点M就是坐标(,)的点答案:B2将点的极坐标(,2)化为直角坐标为()A(,0) B(,2)C(,0) D(2,0)解析:xcos(2),ysin(2)0,所
2、以点的极坐标(,2)化为直角坐标为(,0)答案:A3设点P对应的复数为33i,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为()A. B.C. D.解析:点P的直角坐标是(3,3),极坐标是.答案:A4若120,12,则点M(1,1)与点N(2,2)的位置关系是()A关于极轴所在直线对称B关于极点对称C关于过极点与极轴垂直的直线对称D重合解析:因为120,12,故点M,N位于过极点的直线上,且到极点的距离相等,即关于极点对称答案:B二、填空题5在极坐标系中,已知点A,B,则A、B两点间的距离为_解析:由公式|AB|,得|AB| .答案:6直线l过点A,B,则直线l与极轴夹角的大
3、小为_解析:如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角),然后根据点A,B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3,AOB,所以OAB,所以ACO.答案:7已知极坐标系中,极点为O,将点A绕极点逆时针旋转得到点B,且|OA|OB|,则点B的直角坐标为_解析:依题意,点B的极坐标为,因为cos coscos cos sin sin ,sin sinsin cos cos sin ,所以xcos 4,ysin .所以点B的直角坐标为(,)答案:(,)8平面直角坐标系中,若点P经过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于_解析:因为点P经
4、过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于63.答案:3三、解答题9在极坐标系中,如果A,B为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标(0,02)解:对于点A有2,所以x2cos ,y2sin ,则A(,)对于B有2,所以x2cos ,y2sin .所以B(,)设点C的坐标为(x,y),由于ABC为等边三角形,故|AB|BC|AC|4.所以解得或所以点C的坐标为(,)或(,)当x,y,即点C在第四象限时,有2,tan 1,所以2,.当x,y,即点C在第二象限时,有2,.故点C的极坐标为或.10.如果对称点的极坐标定义如下:当已知M(,)(0,R
5、)时,点M关于极点O的对称点M(,)例如,M关于极点O的对称点M,就是说与表示的就是同一点已知A点的极坐标是,分别在下列给定条件下,写出A点的极坐标:(1)0,.(2)0,02.(3)0,20.解:如图所示,|OA|OA|6,xOA,xOA,即点A与A关于极点O对称由极坐标的定义知(1)当0,时,A.(2)当0,02时,A.(3)当0,20时,A.B级能力提升1已知点M的极坐标为(5,),且tan ,则点M的直角坐标为_解析:因为tan ,0,00,所以M(,0)答案:(,0)3在极坐标系中,已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A,B,C.(1)判断ABC的形状;(2)求ABC的面积解:(1)如图所示,由A,B(2,),C.得|OA|OB|OC|2,AOBBOCAOC,所以AOBBOCAOC,所以ABBCCA,故ABC为等边三角形(2)由(1)可知,|AC|2|OA|sin222.所以SABC(2)23.