1、第三节 函数的奇偶性与周期性授课提示：对应学生用书第275页A组基础保分练1.（2021石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，）上单调递增的是（）A.yB.y|x|1C.ylg x D.y解析：函数y|x|1和y是偶函数，其中y|x|1在（0，）上单调递增，y在（0，）上单调递减.答案：B2.若函数f（x）（xa）（x2）为偶函数，则实数a（）A.0 B.1C.1 D.2解析：f（x）（xa）（x2）x2（2a）x2a为偶函数，则2a0，即a2.答案：D3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2xm，则f（2）（）A.3 B.C. D.3解析：因为f（x）为R上的奇函
2、数，所以f（0）0，即f（0）20m0，解得m1，则f（2）f（2）（221）3.答案：A4.已知函数f（x）是奇函数，在（0，）上是减函数，且在区间a，b（ab0）上的值域为3，4，则在区间b，a上（）A.有最大值4 B.有最小值4C.有最大值3 D.有最小值3解析：根据题意作出yf（x）的简图如图所示，由图知，选B.答案：B5.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x3）f（x）.若f（2）1，f（7）a，则实数a的取值范围为（）A.（，3） B.（3，）C.（，1） D.（1，）解析：因为f（x3）f（x），所以f（x）是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f（7）f（79）f（2）.又因
3、为函数f（x）是偶函数，所以f（2）f（2），所以f（7）f（2）1，所以a1，即a（1，）.答案：D6.已知函数yf（x），满足yf（x）和yf（x2）是偶函数，且f（1），设F（x）f（x）f（x），则F（3）（）A. B.C. D.解析：由yf（x）和yf（x2）是偶函数知，f（x）f（x），f（x2）f（x2）f（x2），故f（x）f（x4），则F（3）f（3）f（3）2f（3）2f（1）2f（1）.答案：B7.若函数f（x）xln（x）为偶函数，则a_.解析：因为f（x）为偶函数，所以f（x）f（x）0恒成立，所以xln（x）xln（x）0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a
4、0，即a1.答案：18.（2021乐山模拟）已知函数f（x）满足：f（x）f（x）0，且当x0时，f（x）1，则f（1）_.解析：因为f（x）f（x）0，所以f（x）为奇函数，又当x0时，f（x）1，则f（0）10，所以m1.所以当x0时，f（x）1，所以f（1）f（1）.答案：9.已知函数f（x）是奇函数.（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解析：（1）设x0，则x0，所以f（x）（x）22（x）x22x.又f（x）为奇函数，所以f（x）f（x），于是x0时，f（x）x22xx2mx，所以m2.（2）要使f（x）在1，a2上单调递增，结合f（
5、x）的图像知所以1a3，故实数a的取值范围是（1，3.B组能力提升练1.已知函数f（x）asin xb4，若f（lg 3）3，则f（）A. B.C.5 D.8解析：因为f（x）asin xb4，则f（x）asin xb4，所以f（x）f（x）8，由于ff（lg 3），因此f（lg 3）f（lg 3）8，即3f（lg 3）8，所以f（lg 3）5，即ff（lg 3）5.答案：C2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x0时f（x）log2（x2）xb，则|f（x）|3的解集为（）A.（，2）（2，）B.（，4）（4，）C.（2，2）D.（4，4）解析：由题意知，f（0）1b0，所以b1，所以f（
6、x）log2（x2）x1，所以f（2）3，且该函数在R上单调递增.因为|f（x）|3f（2），所以f（x）f（2）或f（x）f（2）f（2），所以x2或x2.答案：A3.设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）2x（1x），则f等于（）A. B.C. D.解析：ffff2.答案：A4.（2021郴州模拟）已知f（x）是定义在2b，1b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f（x1）f（2x）的解集为（）A. B.C.1，1 D.解析：因为f（x）是定义在2b，1b上的偶函数，所以2b1b0，所以b1，因为f（x）在2b，0上为增函数，即函数f（x）在2，0上为增函数，故函数f（x）在
7、（0，2上为减函数，则由f（x1）f（2x），可得|x1|2x|，即（x1）24x2，解得1x.又因为定义域为2，2，所以解得综上，1x.答案：B5.已知偶函数f（x）在0，）上单调递增，则对任意实数a，b，“a|b|”是“f（a）f（b）”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为f（x）为偶函数，所以f（x）f（x）f（|x|），由于f（x）在0，）上单调递增，因此若a|b|0，则f（a）f（|b|），即f（a）f（b），所以a|b|是f（a）f（b）的充分条件；若f（a）f（b），则f（|a|）f（|b|），可得|a|b|0，由于a，b的正负
8、不能判断，因此无法得到a|b|，则a|b|不是f（a）f（b）的必要条件，所以“a|b|”是“f（a）f（b）”的充分不必要条件.答案：A6.函数yf（x）在0，2上单调递增，且函数f（x2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A.f（1）ffB.ff（1）fC.fff（1）D.ff（1）f解析：因为函数f（x2）是偶函数，所以f（x2）f（x2），所以函数f（x）的图像关于x2对称，所以ff，ff.因为yf（x）在0，2上单调递增，且1，所以ff（1）f，即ff（1）f.答案：B7.定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（2x）及f（x）f（x），且在0，1上有f（x）x2，则f_.解析：函数f
9、（x）的定义域是R，f（x）f（x），所以函数f（x）是奇函数.又f（x）f（2x），所以f（x）f（2x）f（x），所以f（4x）f（2x）f（x），故函数f（x）是以4为周期的奇函数，所以ffff.因为在0，1上有f（x）x2，所以f，故f.答案：8.（2021柳州模拟）已知函数f（x）对任意xR都有f（x6）f（x）2f（3），yf（x1）的图像关于点（1，0）对称且f（2）4，则f（22）_.解析：因为yf（x1）的图像关于点（1，0）对称，所以yf（x）的图像关于点（0，0）对称，即函数f（x）为奇函数，由f（x6）f（x）2f（3）得，f（x12）f（x6）2f（3），所以f（x1
10、2）f（x），T12，因此f（22）f（2）f（2）4.答案：49.已知函数f（x）对任意xR满足f（x）f（x）0，f（x1）f（x1），若当x0，1）时，f（x）axb（a0且a1），且f.（1）求实数a，b的值；（2）求函数g（x）f2（x）f（x）的值域.解析：（1）因为f（x）f（x）0，所以f（x）f（x），即f（x）是奇函数.因为f（x1）f（x1），所以f（x2）f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，所以f（0）0，即b1.又fff1，解得a.（2）当x0，1）时f（x）axb1，由f（x）为奇函数知，当x（1，0）时，f（x），又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以
11、当xR时，f（x），设tf（x），所以g（x）f2（x）f（x）t2t，即g（x）.故函数g（x）f2（x）f（x）的值域为.C组创新应用练1.（2021兰州模拟）对任意实数x，定义x为不大于x的最大整数（例如3.43，3.44等）.设函数f（x）xx，给出下列四个结论：f（x）0；f（x）1；f（x）是周期函数；f（x）是偶函数.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2C.3 D.4解析：由题意有xxx1，f（x）xx0，且f（x）1，正确；f（x1）x1x1x1（x1）xxf（x），f（x）为周期函数，正确；f（0.1）0.10.10.1（1）0.9，f（0.1）0.10.10.100.1f
12、（0.1），f（x）不是偶函数，错误.答案：C2.（2019高考全国卷）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x1）2f（x），且当x（0，1 时，f（x）x（x1）.若对任意x（，m，都有f（x），则m的取值范围是（）A. B.C. D.解析：当x（0，1时，f（x）x（x1），当x（0，1时，f（x）.f（x1）2f（x），当x（1，0时，x1（0，1，f（x）f（x1）（x1）x，f（x）；当x（2，1时，x1（1，0，f（x）f（x1）f（x2）（x2）（x1），f（x）；当x（1，2时，x1（0，1，f（x）2f（x1）2（x1）（x2），f（x）；当x（2，3时，x1（1，2，f（x
13、）2f（x1）4f（x2）4（x2）（x3），f（x）1，0；.f（x）的图像如图所示.若对任意x（，m，都有f（x），则有2m3.设f（m），则4（m2）（m3），m或m.结合图像可知，当m时，符合题意.答案：B3.（2021湘潭模拟）已知定义在R上的偶函数yf（x2）的图像连续，当x2时，函数yf（x）是单调函数，则满足f（x）f的所有x之积为_.解析：因为函数yf（x2）是连续的偶函数，所以直线x0是它的图像的对称轴，所以直线x2就是函数yf（x）图像的对称轴.因为f（x）f，所以x1或x14.由x1，得x23x30，设方程的两根为x1，x2，所以x1x23；由x14，得x2x130，设方程的两根为x3，x4，所以x3x413.所以x1x2x3x439.答案：39
