1、第 4 讲 指数与指数函数一、选择题1函数 ya|x|(a1)的图像是()解析 ya|x|ax x0，ax x0.当 x0 时，与指数函数 yax(a1)的图像相同；当 x02x x0，则 f(9)f(0)()A0 B1 C2 D3 解析 f(9)log392，f(0)201，f(9)f(0)3.答案 D 3不论 a 为何值时，函数 y(a1)2xa2恒过定点，则这个定点的坐标是()A.1，12B.1，12C.1，12D.1，12解析 y(a1)2xa2a2x12 2x，令 2x120，得 x1，则函数 y(a1)2xa2恒过定点1，12.答案 C4定义运算：a*ba，ab，b，ab，如 1*
2、2=1,则函数 f(x)=2x*2-x 的值域为()ARB(0，)C(0,1 D1，)解析 f(x)2x*2x2x，x0，2x，x0，f(x)在(，0上是增函数，在(0，)上是减函数，01，b0，且 abab2 2，则 abab的值为()A.6 B2 或2 C2 D2 解析 (abab)28a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24.又 abab(a1，b0)，abab2.答案 D 6若函数 f(x)(k1)axax(a0 且 a1)在 R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是下图中的()解析 函数 f(x)(k1)axax 为奇函数，则 f(0)0，即(k1)a0
3、a00，解得k2，所以 f(x)axax，又 f(x)axax 为减函数，故 0a1，所以 g(x)loga(x2)为减函数且过点(1,0)答案 A二、填空题7已知函数 f(x)ax，x0，a3x4a，x0，满足对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20 成立，则 a 的取值范围是_解析 对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20 成立，说明函数 yf(x)在 R 上是减函数，则 0a1，且(a3)04aa0，解得 00，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ 解析 令 axxa0 即 axxa，若 0a1，yax与 yxa 的图象如图所示 答案(1，)10已知 f(x)x2，g
4、(x)12xm，若对x11,3，x20,2，f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范围是_解析 x11,3时，f(x1)0,9，x20,2时，g(x2)122m，120m，即g(x2)14m，1m，要使x11,3，x20,2，f(x1)g(x2)，只需f(x)ming(x)min，即 014m，故 m14.答案 14，三、解答题11已知函数 f(x)2x12x1.(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)求证 f(x)在 R 上为增函数(1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)2x12x1122x1，所以 f(x)f(x)122x1 122x1 222x122x1 222x1 2
5、2x2x1 222x12x1 220，即 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数(2)证明 设 x1，x2R，且 x1x2，有f(x1)f(x2)2x112x112x212x2122x12x22x112x21，x1x2,2x12x20,2x210，f(x1)0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)(1)求 f(x)；(2)若不等式(1a)x(1b)xm0 在 x(，1时恒成立，求实数 m 的取值范围 解析 (1)把 A(1,6)，B(3,24)代入 f(x)bax，得 6ab，24ba3.结合 a0 且 a1，解得 a2，b3.f(x)32x.(2)要使(12)x(13)xm 在
6、(，1上恒成立，只需保证函数 y(12)x(13)x在(，1上的最小值不小于 m 即可 函数 y(12)x(13)x在(，1上为减函数，当 x1 时，y(12)x(13)x有最小值56.只需 m56即可 m 的取值范围(，56 13已知函数 f(x)13 ax24x3.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值 解析 (1)当 a1 时，f(x)13 x24x3，令 tx24x3，由于 t(x)在(，2)上单调递增，在2，)上单调递减，而 y13t在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间是2
7、，)，递减区间是(，2)(2)令 h(x)ax24x3，f(x)13h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1，因此必有 a0，12a164a1，解得 a1.即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.14已知定义在 R 上的函数 f(x)2x 12|x|.(1)若 f(x)32，求 x 的值；(2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围解(1)当 x0，x1.(2)当 t1,2时，2t22t 122t m2t12t 0，即 m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故 m 的取值范围是5，)
