1、考点巩固训练30数列的综合应用一、选择题1设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1b14,a4b41,则下列结论正确的是()Aa2b2 Ba3b3Ca5b5 Da6b62已知等差数列an的前n项和为Sn,S936,S13104,等比数列bn中,b5a5,b7a7,则b6的值为()A4 B4 C4 D无法确定3在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,黑、白两只蚂蚁均从点A出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA1A1D1D1C1,黑蚂蚁的爬行路线是ABBB1B1C1,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为正整数),设黑
2、、白蚂蚁都爬完2 012段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为()A1 B C D04已知数列an,bn满足a11,且an,an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点,则b10等于()A24 B32 C48 D645已知数列an的通项为an,则数列an的最大项为()A第7项 B第8项C第7项或第8项 D不存在6气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(nN*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了()A600天 B800天 C1 000天 D1 200天7(2012湖北高
3、考)定义在(,0)(0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(,0)(0,)上的如下函数:f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A B C D二、填空题8定义运算:adbc,若数列an满足1且12(nN*),则a3_,数列an的通项公式为an_.9等差数列an的前n项和为Sn,已知am1am1a0,S2m138,则m_.10设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6150,则d的取值范围是_三、解答题11
4、某人有人民币1万元,若存入银行,年利率为6%;若购买某种股票,年分红24%,每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等?(2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精确到整年)(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1,lg 1.060.025 3)12.(2013届湖南长沙一中月考)已知等差数列an的首项为a,公差为b,且不等式ax23x20的解集为(,1)(b,),数列bn是各项均为正数的等比数列,且a1b1,a3b39.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)令Cn,求数列Cn的前n项和Sn.参考答案
5、一、选择题1A解析:设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d1,q,于是a23b22.故选A.2A解析:依题意得,S99a536b5a54,S1313a7104b7a78,所以b64.3B解析:白蚂蚁的爬行路线为AA1A1D1D1C1C1CCBBAAA1,黑蚂蚁的爬行路线为ABBB1B1C1C1D1D1DDAAB,可见两只蚂蚁爬行路线都是循环的,周期为6,故爬完2 012段后,白蚂蚁在D1处,黑蚂蚁在B1处,故D1B1.4D解析:依题意有anan12n,所以an1an22n1.两式相除得2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列而a11,a22,所以a102243
6、2,a1112532.又因为anan1bn,所以b10a10a1164.5B解析:由于an,而函数f(x)x在(0,)上递减,在(,)上递增,且f(7)7,f(8)8,f(8)f(7),故a8a7,从而数列an的最大项为第8项6B解析:由第n天的维修保养费为(nN*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为,当且仅当时取得最小值,此时n800,故选B.7C解析:设等比数列an的公比为q,则对于f(x)x2,f(an)a,由等比数列定义得,2q2,符合题意;而对于f(x)2x,f(an)2an,由等比数列定义得,2an
7、an1,不为定值,故不符合题意;对于f(x),f(an),则为定值,符合题意;对于f(x)ln|x|,f(an)ln|an|,由等比数列定义得,并不为定值,故不符合题意;故正确二、填空题8104n2解析:由题意得a111,3an13an12,即a12,an1an4.an是以2为首项,4为公差的等差数列an24(n1)4n2,a343210.910解析:由等差数列的性质可知2amam1am1,又am1am1a0,a2am.am2(am0不合题意,舍去)又S2m1(a1a2m1)2am(2m1)am38,2m119.m10.10d2或d2解析:由S5S6150,得150.整理可得2a9a1d10d
8、210.a1,d为实数,(9d)242(10d21)0,解得d2或d2.三、解答题11解:设该人将1万元购买股票,x年后所得的总红利为y万元,则y24%24%(16%)24%(16%)224%(16%)x124%(11.061.0621. 06x1)4(1.06x1)(1)由题意,得4(1.06x1)1,1.06x.两边取常用对数,得xlg 1.06lg13lg 2.x4.(2)由题意,得4(1.06x1)(16%)x,1.06x.解得x5.答:(1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等;(2)经过大约5年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等12解:(1)依题意知,x11,x2b是方程ax23x20的两根,1b,ba1,b2,an2n1.又b1a11,b39a34,b3b1q24,q2(舍负),bn2n1.(2)Cn(2n1)n1,Sn103152(2n1)n1,Sn113253(2n3)n1(2n1)n,两式相减得Sn102(2n1)n32n1(2n1)n3n1,Sn6(2n3)n1.