1、第六节 离散型随机变量及其分布列 第六节 离散型随机变量及其分布列 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1随机变量 如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那 么 这 样 的 变 量 叫 做 随 机 变 量 常 用 字 母_表示 2随机变量的分布列 一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，xn，且P(Xxi)pi，i1,2，n，X、Y、Z、则称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可用下表形式表示：3.离散型随机变量分布列的性质(1)_；x1 x2 xn P _ _ _ p1 p2 pn pi0,1，i1,2，n(2
2、)_.4常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X的分布列是，则这样的分布列称为两点分布列X 0 1 P 1p p i1npi1如果随机变量X的分布列为_，就称X服从两点分布，而称_为成功概率 两点分布又称01分布由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布两点分布列P(X1)P(Xk)CkMCnkNMCnN(2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为_，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmN
3、MCnN为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超 几 何 分 布 列，则 称 随 机 变 量 X 服 从_超几何分布思考感悟离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示：代表的是“事件”，但事件是用一个反映结果的实数表示的 课前热身 1若随机变量 X 的分布列为 P(Xi)i2a(i1,2,3)，求 P(X2)解：由 12a 22a 32a 62a1，a3，P(X2)22313.2已知随机变量X的分布列为：求x的值解：0.10.20.3x0.11，x0.3.X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 x 0.1 3(2011 年苏州质检)某汽车驾驶学校在学员结业前对
4、其驾驶技术进行 4 次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为 932.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X)解：(1)由题意得，(1P1)P118 932，P114或58.P112，P158.(2)由(1)知小李 4 次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以 P(X1)58，P(X2)932，P(X3)158 134 78 21256，P(X4)15
5、8 134 178 1 3256，E(X)1582 9323 212564 3256379256.考点探究挑战高考 求离散型随机变量的分布列考点突破 求一随机变量的分布列，可按下面的步骤：(1)明确随机变量的取值范围；(2)求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率；(3)列成表格 例1(2010年高考广东卷)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取
6、的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；(3)从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率【思路分析】解答本题的关键是Y的取值，然后利用超几何分布【解】(1)重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)400.312(件)(2)Y的分布列为Y012PC228C240C128C112C240C212C240(3)从流水线上任取 5 件产品，恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率是C328C212C540282726321 12112140393837365432121113719231703.【名师点评】确定离散型随机变量X的分
7、布列的关键是要搞清X的每一个值对应的随机事件进一步利用排列组合求出X取每个值的概率离散型随机变量的分布列性质及应用(1)离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代表一个试验结果，所以研究随机变量时，关心的是随机变量能取哪些值，包含了哪些试验结果(基本事件)(2)离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示，其结构为两行、n1列，第一行表示随机变量的取值，第二行对应各随机变量的概率 例2设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列【思路分析】先由分布列的性质，求出m，由函数对应关系求出2X1和|X1|的值及概率X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1
8、0.3 m【解】由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：从而由上表得两个分布列为：(1)2X1的分布列：X 0 1 2 3 4 2X1 1 3 5 7 9|X1|1 0 1 2 3 2X1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X1|的分布列：|X1|0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3【名师点评】利用分布列的性质，可以求出分布列中的参数值对于随机变量的函数(仍是随机变量)的分布列，可以按分布列的定义来求互动探究1 保持题目条件不变，求P(12X19)解：P(12X19)P(2X13)P(2X15)P(2X17)0.10
9、.10.30.5.超几何分布超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数如果一随机变量 服从超几何分布，那么事件k发生的概率为 P(k)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m.例3 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡
10、在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率【思路分析】先求出省外、省内、持金卡、持银卡各有多少人，然后由超几何分布求出所求概率【解】由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”P(B)P(A1)P(A2)C19C221C336 C19C16C121C336 934 271703685.所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是
11、3685.【名师点评】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 变式训练2 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的商品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列解：(1)该顾客中奖，说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率为 PC14C16C24C210304523.(2)依 题 意 可 知X的 所 有 可
12、能 取 值 为0,10,20,50,60(元)，且P(X0)C26C21013；P(X10)C13C16C210 25；P(X20)C23C210 115；P(X50)C11C16C210 215；P(X60)C11C13C210 115.所以 X 的分布列为：X010205060P1325115215115方法感悟 方法技巧1所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概率中，随机变量X是试验结果 2对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离
13、散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率 3求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率 失误防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，离散型随机变量的分
14、布列是考查的热点，题型为解答题，分值为12分左右，属中档题，分布列常与排列组合、概率、均值与方差等知识结合考查，以考查基本知识、基本概念为主 预测2012年江苏高考，离散型随机变量的分布列仍然是考查的热点，同时应注意概率与分布列相结合的题目，重点考查运算能力和理解能力规范解答 例(本题满分14分)(2010年高考重庆卷)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望【解】(1)设 A 表示“甲
15、、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”.2 分P(A)1P(A)1C23C2611545.4 分(2)的所有可能值为 0,1,2,3,4，且P(0)5C2613，P(1)4C26 415，P(2)3C2615，P(3)2C26 215，P(4)1C26 115.10 分从而知 的分布列为：01234P134151521511512 分E()0131 4152153 2154 11543.14 分【名师点评】本题易失误的是：(1)利用对立事件的概率计算易出现错误(2)的取值以及对应的概率的计算易出现错误名师预测 1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，
16、从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率解：(1)法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)C35C12C12C12C31023.法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记为 B，则事件 A和事件 B 是对立事件因为 P(B)C15C22C18C31013，所以 P(A)1P(B)11323.(2)随机
17、变量 X 的可能取值为 2,3,4,5，取相应值的概率分别为 P(X2)C34C310 130，P(X3)C12C24C310 C22C14C310 215，P(X4)C12C26C310 C22C16C310 310，P(X5)C12C28C310 C22C18C310 815.随机变量 X 的分布列为X2345P130215310815(3)由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，所以当计分介于 20 分40 分时，X 的取值为 3 或 4，所以所求概率为 PP(X3)P(X4)215 3101330.2某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列解：依题意随机变量 X 服从超几何分布，所以 P(Xk)Ck6C4k4C410(k0,1,2,3,4)P(X0)C06C44C410 1210，P(X1)C16C34C410 435，P(X2)C26C24C410 37，P(X3)C36C14C410 821，P(X4)C46C04C410 114.X 的分布列为X01234P121043537821114本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
