1、第十三单元统计、概率知识体系第六节 几何概型基础梳理1.几何概型的概念 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是 、等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是 .（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是 .线段平面图形立体图形无限的均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面
2、积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示.3.几何概型的计算公式 一般地，在几何区域D中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.4.几何概型与古典概型的区别与联系（1）共同点：.（2）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.D的测度d的测度基本事件都是等可能的典例分析题型一 与长度有关的几何概型【例1】（2009盐城模拟）某公共汽车站每
3、隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.分析 因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.解 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间3,10上.如图所示.设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.记“等车时间不超过7分钟”为事件
4、A，事件A发生即点t落在线段TT2上，则D的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以P（A）=.故等车时间不超过7分钟的概率是 .学后反思 我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点.这样的概率模型就可以用几何概型求解.107D的长度A的长度 107举一反三 1.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.解析：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则 P(A)=.2163题型二 与面积（体积）有关的几何概型【例2】在5升高产小麦种
5、子中混入了一种带白粉病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有白粉病的种子的概率是多少？分析 因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子只与取得种子的体积有关.解 病种子在这5升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，5升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.“取出10毫升种子中含有病种子”这一事件记为A，所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.002.学后反思 解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.0.002500010所有种子的体积取出的种子的体
6、积则P(A)2.如图，射箭比赛的箭靶上涂有5个彩色的分环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心 为金色.金色靶心叫做“黄心”.奥运会的比赛靶面 直径是122 cm,靶心直径是12.2 cm,运动员在70 m外射箭.假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？举一反三解析：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为 1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为 12.22cm2的黄心时，事件B发生.于是事件B发生的概率为 41410.011224112.241P(B)22题型三 会面问题中的概率【例3】(14分)两人约定在20:00到21:00之间相
7、见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.分析 两人不论谁先到最多只等40分钟，即 小时,设两人到的时间分别为x、y,则当且仅当|x-y|时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型.解 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当|x-y|.3 如图，两人到达约见地点的所有时刻（x,y）的可能结果可用图中的单位正 方形内（包括边界）的点来表示；6 323232两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边
8、界）的点来表示.9 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，12 即P=S阴影部分S单位正方形=12-13212=89.14 学后反思 对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系;在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题.3.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求
9、这两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.举一反三解析：如图，设甲到达时间为x，乙到达时间 为y,则0 x24,0y24.设“至少有一艘轮船 在停靠泊位时必须等待”为事件A,则0y-x6 或0 x-y6.所以P（A）=.1672418122【例】向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求PBC的面积小于 的概率.易错警示错解 如图甲所示，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E,则当P点到底边BC的距离小于 EF，即0PF EF时,有0 BCPF BCEF,即0SPBC .设“PBC的面积小于 ”为事件A，则A表示的范围是(0,),即A=,而=S，所以由几何概型求概率的
10、公式得 .所以PBC的面积小于 的概率是 .4S4S4S4S4S4S412121214141S4SP(A)A易错分析 如图乙所示，P为矩形ABCD内任意点，PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但应满足PBC的面积小于 .当PBC的面积等于 时，即 BCPF=BCEF,所以PF=EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H,点P的轨迹是线段GH.满足条件“PBC的面积小于”的点P应落在矩形区域GBCH内，而不是三角形区域PBC内.错解的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形.正解 如图乙所示，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当PBC的面积等于
11、时，即 BCPF=BCEF,有PF=EF.过点P作GH平行于BC交AB于G,交CD于H.所以满足 SPBC=的点P的轨迹是线段GH.4S41214S4S4S4S21212141所以满足条件“PBC的面积小于 ”的点P应落在矩形区域GBCH内，设“PBC的面积小于 ”为事件A，则A表示的范围是（0,）即A=,而=S.所以由几何概型求概率的公式得 ,所以PBC的面积小于 的概率是 .4S4S212S4S2S21S2SP(A)A考点演练10.(2009济宁模拟)甲、乙两人约定上午7:00至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20,7：40,8：00.如果他
12、们约定，见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率.解析：如图，设甲到达汽车站的时刻 为x,乙到达汽车站的时刻为y,则7x8,7y8，即甲乙两人到达汽车站的时刻（x,y）所对应的区域在平面直角坐标系 中画出（如图所示）是大正方形.将三班车 到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要 想乘同一班车，必须满足7x ,7y ;x ,y ;x8,y8.即（x,y）必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以 由几何概型的计算公式得，所求概率 .3173173173173273273273273113)31(P2211.设关于x的一元二次方程 .若a是从区间0,3任取的一个数,b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有
13、实根的概率.2220 xaxb解析：设事件A为“方程 有实根”,当a0,b0时，方程 有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2,构成事件A的区域为(a,b)|0a3,0b2,ab,如图.由几何概型的定义得 2220 xaxb2220 xaxb 213 22223 23P A 12.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若压在塑料板的顶点上，可获得1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上（包含压在顶点上）的概
14、率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析：小圆板中心用O表示，考虑O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD的边相交，以及O落在哪个范围时能使小圆板压在塑料板ABCD的顶点上.(1)因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图1中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交.因此，区域是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A：“小圆板压在塑料板的边上.”于是 =99=81,=99-77=32.故所求概率P（A）=.(2)小圆板与正方形的顶点相交是在中心O到正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1时，如图2所示阴影部分，图中阴影部分表示事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”.于是 =99=81,.故所求的概率P（B）=.S正S阴3281SS阴正S正21S阴81SS阴正
