1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：1.化为弧度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用角度化弧度公式可计算出答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查角度化弧度，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合，集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】解不等式，求出整数的个数，即可得出答案.【详解】解不等式，得，的取值有、，因此，中元素的个数为.故选：C.【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.3.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出圆的半径，然后利用扇形的弧长公式可得出结果.【详解】设圆的半径为，则，因此，这个圆心角所对的弧长为.故选：C.【点睛】本题考查扇形的弧长，解答的关键就是计算出圆的半径，考查计算能力，属于基础题.4.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得，即，解得且，因此，函数的定义域为.故选：C.【点睛】本题考查函数定义域的求解，要根据一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.
3、计算：（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算律可计算出所求代数式的值.【详解】，由换底公式可得，因此，原式.故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，解题时要充分利用换底公式、对数的运算律以及对数恒等式来进行化简计算，考查计算能力，属于基础题.6.若是上周期为的奇函数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质得出，再由函数的周期性得出，利用奇函数的性质可计算出结果.【详解】函数是上的奇函数，则，又函数是上周期为的周期函数，则.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，一般先利用函数的周期性将自变量的绝
4、对值由大化小，再利用奇偶性来计算，考查计算能力，属于基础题.7.函数的零点的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后解方程，即可得出函数的零点个数.【详解】对于函数，解得，则函数的定义域为.解方程，即或，解得（舍去）或或.所以，函数的零点个数为.故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般利用代数法和几何法求解，考查计算能力，属于基础题.8.把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到，再由题中条件得到3，进而可得出结果.【详解】函数的图象向
5、右平移个单位长度，得：，所以，3，得：.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.9.已知，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将变形为，比较、的大小，利用指数函数的单调性即可得出、的大小关系.【详解】，则，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查指数幂的大小比较，一般利用指数函数和幂函数的单调性来比较，考查推理能力，属于基础题.10.已知函数满足，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由得出，将等式变形为，然后利用换元法可求出函数的解析式.【详解】对于等式，有，可
6、得，则有，令，得，所以，因此，.故选：D.【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查换元思想的应用，解题的关键就是从题干等式中推导出，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将函数的解析式表示为分段函数，并判断出函数的单调性，由可得出关于的不等式组，解出即可.【详解】，当时，所以，函数在区间上为增函数，由可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，分析出函数的基本性质是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知直线，与函数的图象交于、两点，与函数的图象交于、两点，则
7、直线与的交点的横坐标（ ）A. 大于B. 等于C. 小于D. 不确定【答案】B【解析】【分析】求出、的坐标，利用待定系数法求出直线与的函数解析式，然后求出这两条直线的交点坐标，即可得解.【详解】由题意可知点、，设直线对应的函数解析式为，则，解得,所以直线的函数解析式为，同理可知直线的函数解析式为，两直线均过原点，所以，直线与的交点的横坐标为零.故选：B.【点睛】本题考查两直线交点横坐标的求解，考查对数的运算性质，解题的关键就是求出两条直线对应的一次函数解析式，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：13.已知实数、满足，则_.【答案】【解析】【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式可计算出的值.
8、【详解】，同理，由换底公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，考查计算能力，属于基础题.14.已知函数，若，则_.【答案】【解析】【分析】计算出，再由结合可求得的值.【详解】，.，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.15.若函数的值域为，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知函数的值域包含，然后分和两种情况讨论，分析函数的单调性，可得出的不等式，解出即可.【详解】令，由于函数的值域为，则函数的值域包含.当时，由双勾函数的单调性可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和，
9、函数的值域为，则，解得；当时，函数在和上均为增函数，当时，当时，.此时，函数的值域为，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的值域，对数函数的定义域、值域，属于中档题16.已知且，且，方程组的解为或，则_.【答案】【解析】【分析】利用换底公式得出，分别消去和，可得出二次方程，利用韦达定理可求出和的值，进而可计算出的值.【详解】由换底公式得，由得，代入并整理得，由韦达定理得，即，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题三、解答题：17.设集合，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取
10、值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再根据公共元素为代入集合，即可求出实数的值；（2）由推出，然后分、四种情况讨论，求出对应的实数的值或取值范围，综合可得出结果.【详解】由题意得.（1），即，或.当时，满足；当时，满足.综上所述，或；（2），.当时，方程无解，解得；当时，无解；当时，无解；当时，无解.综上所述，实数取值范围是.【点睛】本题主要考查集合和集合以及元素和集合之间的关系，属于基础题目，特别提醒，第一问求出参数的值后一定要注意代入检验，避免出错18.已知函数（，为常数）.（1）若且，求、的值；当时，判断并证明函数的单调性；（2）若，讨论方程解的个数.【答
11、案】（1），函数在上为增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接由且得出方程组，解方程组可得与的值；设，作差，因式分解后判断的符号，由此可证明出函数在区间上的单调性；（2）判断函数的单调性，作出函数与的图象，利用数形结合思想可得出在不同取值下方程的解的个数.【详解】（1）由题意得，解得，函数在上为增函数，证明如下：设、且，即，所以，函数在上是增函数；（2），当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时；当时，函数单调递减，此时.作出函数与的图象如下图所示：由图象可知，当时，方程有解；当时，方程有解；当时，方程有解.综上所述，当时，方程有解；当时，方程有解；当时，方程有解.【点睛
12、】本题考查函数单调性的证明和方程根的个数讨论，考查数形结合思想，属于基础题19.“共享单车”出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每个城市至少要投资万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）.（1）求及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】（1），定义域为；（2）当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大.【解析】【分析】（1）由化简，并结合题意得出该函数的定义域；（2）配方
13、，得出函数的最大值及其对应的的值即可【详解】（1）由题意可得，且有，解得，故函数定义域为；（2），当时，即当万元时，.当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大为万元.【点睛】本题考查了函数模型的实际应用，考查了二次函数最值的计算，考查计算能力，属于中等题20.设是上的奇函数，且当时，.（1）若，求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，求出的值，然后根据函数为奇函数，由时的解析式求出的解析式，由该函数为上的奇函数，得出，综合可得出函数在上的函数解析式；（2）当时，可知函数在上单调递增，然后由不等式恒成立，可得出，利用换元思想
14、结合双勾函数的单调性求出函数的最大值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1），.当时，.设时，则，由于函数是上的奇函数，；当时，.综上所述，；（2）当时，.当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为增函数，此时.由于函数为上的奇函数，则该函数在上为增函数，且当时，所以，函数为上的增函数.由得，.令，则，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，在上为减函数，当时，函数取得最大值，即，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了利用双勾函数的单调性求最值和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题21.设函数定义域具有奇偶性.（1）求
15、的值；（2）已知在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）分类讨论，当为奇函数时，由可解得的值；当函数为偶函数时，由可解得的值；（2）按及两种情况分类讨论，在时，换元；在时，换元，将问题转化为二次函数的最小值为，对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，利用二次函数的单调性得出关于的方程，解出即可.【详解】（1）若函数为奇函数，则，即，；若函数为偶函数，则，对一切都成立，.综上所述，；（2）当时，令，则函数在上单调递增，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 或
16、（舍去）；当时，.当时，令，当时，内层函数在时单调递增，外层函数在上单调递增，所以，函数在时单调递增，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，（舍）.所以，当时，.综上所述，当时，；当时，.【点睛】本题考查函数的奇偶性及函数的最值，考查换元思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，难度中等22.定义域为的奇函数同时满足下列三个条件：对任意的，都有；对任意、且，都有成立，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给出的条件知，结合条件，可求出，同理构造出等量关系，直到能够得出关于的方程，解得的值即可；（2）根据对任意的，都有，得出函数的周期为，再利用（1）得出的结论及条件，求出结果即可【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，又，对任意、且，都有成立，其中.，同理可得，即.又，；（2），所以，函数是以为周期的周期函数.，由（1）可知，.【点睛】本题考查了抽象函数求值问题，要根据给出条件合理构造方程求解，属于中档题
