1、江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（创新班，含解析）一、选择题1.已知集合，集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出整数的个数，即可得出答案.【详解】解不等式，得，的取值有、，因此，中元素的个数为.故选：C.【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.2. 设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用以及平方差公式进行化简，再代值即可.【详解】原式= =因为，故，代入原式=.故选：A.【点睛】本题考查指数和对数的运算，注意三次方差公式的利用，先化简后求值.3.幂
2、函数在定义域内为偶函数，则m=（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据函数为幂函数，求得参数，再根据奇偶性进行取舍.【详解】由幂函数定义可知，解得或；当时，是奇函数，不满足题意；当时，是偶函数，满足题意.综上所述：.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的定义，以及幂函数的奇偶性，属基础题.4.函数，若，则（ ）A. 1B. 1C. 9D. 9【答案】C【解析】【分析】判断的奇偶性，根据奇偶性，列方程求解即可.【详解】函数定义域为R，关于原点对称，且 =故是奇函数；则因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用；值得注意的是函数是R上的单调增函数，且为
3、奇函数，可以当作一个一般性结论进行总结.5.若等差数列的公差，且，则的前17项的和（ ）A. 17B. 18C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式的下标和性质，结合数列的前项和性质，进行整理化简即可.【详解】等价于因为是等差数列，故其等价于解得：，因故；由等差数列前项和性质可得.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项公式的下标和性质，以及前项和的性质，属性质应用题；除本题解法外，也可以采用基本量进行计算，但计算量较大，不推荐.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可.【详解】=.故选：D.
4、【点睛】本题考查利用正切函数的和角公式进行恒等变化和化简，其难点在于反凑的技巧.7.函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二分法，估算的零点，结合选项函数的零点进行判断.【详解】因为，是单调增函数，又，故的零点所在区间为，若使得的零点与的零点之差的绝对值不超过，只需的零点在区间即可.显然A选项中，的零点为满足题意，而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点均不满足题意.故选：A.【点睛】本题考查零点的求解，以及用二分法估算函数的零点，属综合基础题.8.把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
5、，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到，再由题中条件得到3，进而可得出结果.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得：，所以，3，得：.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.9.设是定义在R上的函数，若存在两个不相等实数、，使得，则称函数为“创新函数”.则下列函数不是“创新函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对创新函数的定义，对每个选项的函数进行逐一判断即可.【详解】根据创新函数的定义，其本质含义是：函数上，存在一点，使得函数图像上其它两点关于
6、该点对称即可.对A：函数为R上的奇函数，故函数上存在对称点，对函数上任意其它关于原点对称的两个点，均满足创新函数的定义；对B：函数也是R上的奇函数，故函数上存在对称点，对函数上任意其它关于原点对称的两个点，均满足创新函数的定义；对C：函数是R上的偶函数， 但存在点，对函数上的和两点，关于对称， 故满足创新函数的定义；对D：不存在点，使得函数图像上其它两点关于该点对称.故选：D.【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及函数图像以及函数性质，属函数性质应用题.10.已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将函数的解析式表示为分段函数，并判断出函数的单调性，由可
7、得出关于的不等式组，解出即可.【详解】，当时，所以，函数在区间上为增函数，由可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，分析出函数的基本性质是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知直线，与函数的图象交于、两点，与函数的图象交于、两点，则直线与的交点的横坐标（ ）A. 大于B. 等于C. 小于D. 不确定【答案】B【解析】【分析】求出、的坐标，利用待定系数法求出直线与的函数解析式，然后求出这两条直线的交点坐标，即可得解.【详解】由题意可知点、，设直线对应的函数解析式为，则，解得,所以直线的函数解析式为，同理可知直线的函数解析式为，两
8、直线均过原点，所以，直线与的交点的横坐标为零.故选：B.【点睛】本题考查两直线交点横坐标的求解，考查对数的运算性质，解题的关键就是求出两条直线对应的一次函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12.已知点O是内一点，满足，则实数m为（ ）A. 2B. -2C. 4D. -4【答案】D【解析】【分析】将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则 三点共线如下图所示：与反向共线 本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、填空题13.已知实数、
9、满足，则_.【答案】【解析】【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式可计算出的值.【详解】，同理，由换底公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，考查计算能力，属于基础题.14.已知正项数列的前n项和为.若,均为公差为d的等差数列，则_.【答案】【解析】【分析】根据两个数列是等差数列，结合特殊的几项，寻找等量关系，解方程求解.【详解】因为数列的前项和为，故，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得：，两边平方得：-可得：把代入得：.故或，因数列为正项数列，故舍去；当，代入解得.故.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前项和，利用基本
10、量处理即可.15.已知向量与的夹角为，且，实数k满足与的夹角为钝角，则k的取值范围为_.【答案】且【解析】【分析】根据向量的夹角为钝角，则数量积为负数进行计算，但注意排除平角的可能.【详解】由已知条件可知：，因为与的夹角为钝角故，即：整理得：，解得： ；设，且，解得，解得，又故，即此时.此时，与的夹角为平角，故.综上所述：故答案为：且.【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉及向量共线定理，属向量基础题.16.已知且，且，方程组的解为或，则_.【答案】【解析】【分析】利用换底公式得出，分别消去和，可得出二次方程，利用韦达定理可求出和的值，进而可计算出的值.【详解】由换底公式得，由得，代入并整理得，
11、由韦达定理得，即，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题三、解答题17.设集合，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再根据公共元素为代入集合，即可求出实数的值；（2）由推出，然后分、四种情况讨论，求出对应的实数的值或取值范围，综合可得出结果.【详解】由题意得.（1），即，或.当时，满足；当时，满足.综上所述，或；（2），.当时，方程无解，解得；当时，无解；当时，无解；当时，无解.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合和集合以及元素
12、和集合之间的关系，属于基础题目，特别提醒，第一问求出参数的值后一定要注意代入检验，避免出错18.“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每个城市至少要投资万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）.（1）求及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】（1），定义域为；（2）当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大.【解析】【分析】（1）由化简，并结合题意得出该函数的
13、定义域；（2）配方，得出函数的最大值及其对应的的值即可【详解】（1）由题意可得，且有，解得，故函数定义域为；（2），当时，即当万元时，.当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大为万元.【点睛】本题考查了函数模型的实际应用，考查了二次函数最值的计算，考查计算能力，属于中等题19.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角的大小；（2）若，O为的外心，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将角化边，反凑余弦定理，求出角度；（2）利用向量数量积的几何意义，用表示出和，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）由正弦定理得.又，.（
14、2），故同理由可得：故：当且仅当时，取得最大值.即当时，取得最大值.【点睛】本题考查由正弦定理进行角化边，以及余弦定理的使用，涉及向量数量积的几何意义，以及利用均值不等式求最值，是解三角形、向量、均值不等式的综合题.20.设函数在定义域具有奇偶性.（1）求的值；（2）已知在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）分类讨论，当为奇函数时，由可解得的值；当函数为偶函数时，由可解得的值；（2）按及两种情况分类讨论，在时，换元；在时，换元，将问题转化为二次函数的最小值为，对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，利用二次函数的单调性得出关于的方程，解
15、出即可.【详解】（1）若函数为奇函数，则，即，；若函数为偶函数，则，对一切都成立，.综上所述，；（2）当时，令，则函数在上单调递增，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 或（舍去）；当时，.当时，令，当时，内层函数在时单调递增，外层函数在上单调递增，所以，函数在时单调递增，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，（舍）.所以，当时，.综上所述，当时，；当时，.【点睛】本题考查函数的奇偶性及函数的最值，考查换元思想及分类讨论思想，考查运算
16、求解能力，难度中等21.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）若，数列的前n项和，且恒成立，求的最小值.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】分析】（1）根据已知，利用数列的基本量求通项公式，列方程求解即可；（2）先分组求和，再使用公式法以及错位相减法求前项和；（3）由（1）结论可得，使用裂项求和，再进行适度放缩.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解之得.，.（2）.令，则，.（3），故=因为恒成立，则，故的最小值为.【点睛】本题考查由数列的基本量求解数列的通项公式，以及分组求和，裂项求和，属数列综合题.22.定义域为的奇函数同时满足下列三个条件：对任意的，都有；对任意、且，都有成立，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给出条件知，结合条件，可求出，同理构造出等量关系，直到能够得出关于的方程，解得的值即可；（2）根据对任意的，都有，得出函数的周期为，再利用（1）得出的结论及条件，求出结果即可【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，又，对任意、且，都有成立，其中.，同理可得，即.又，；（2），所以，函数是以为周期的周期函数.，由（1）可知，.【点睛】本题考查了抽象函数求值问题，要根据给出条件合理构造方程求解，属于中档题
